coordenadas polares
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C´lculo II - 2o Semestre de 2011 a 12a Aula (Resumo)´
AREAS E COMPRIMENTOS EM COORDENADAS
POLARES
´
1. Areas em coordenadas polares
1
A = r2 θ
2
´ a ´rea de um setor circular de angulo θ. E se r = f (θ) ´ a fronteira da regi˜o polar. e a
ˆ
e a R = (r, θ), 0 ≤ r ≤ f (θ), a ≤ θ ≤ b ent˜o, a area da regi˜o polar ´ a ´ a e b A(R) = a b
1 2 r dθ =
2
a
1 2 f (θ)dθ
2
Ex.1 Calcule a area limitada por um arco da ros´cea de quatro p´talas, r = cos 2θ
´
a e Solu¸˜o. ca π
4
1
1 2 r dθ =
2
2
A=
−π
4 π 4
=
0
π
4
π
4
2
cos 2θdθ =
−π
4
cos2 2θdθ
0
1
1
1
(1 + cos 4θ)dθ = θ + sin 4θ
2
2
4
π
4
0
=
π
8
Ex.2 Ache a area da regi˜o dentro do c´
´
a ırculo r = 3 sin θ e fora da cardi´ide r = 1+sin θ o Solu¸˜o. Pontos de interse¸ao: ca c˜
3 sin θ = 1 + sin θ ⇒ 2 sin θ = 1 ⇒ sin θ =
1
A=
2
5π
6
π
6
1
(3 sin θ) dθ −
2
5π
6
2
π
6
1 π 5π
⇒θ= ,
2
6 6
(1 + sin θ)2 dθ = π
2. Comprimento de arco
Se uma curva C : x = f (t), y = g(t), α ≤ t ≤ β; ent˜o o comprimento da curva C ´ a e β (
L= α dx 2 dy ) + ( )2 dt dt dt
Ex.3 Encontre o comprimento de um arco da cicl´ide. o x = r(θ − sin θ), y = r(1 − cos θ)
Solu¸˜o. Para ca 0 ≤ θ ≤ 2π ⇒ 0 ≤
θ θ ≤ π ⇒ sin ≥ 0
2
2
dx dy = r(1 − cos θ),
= r sin θ dθ dθ
⇒
(
=
dx 2 dy ) + ( )2 = dθ dθ
r2 (1 − 2 cos θ + cos2 θ) + r2 sin2 θ
r2 (2 − 2 cos θ) = r
2(1 − cos θ) = r
θ
4 sin2 ( )
2
θ θ 2r| sin( )| = 2r sin( )
2
2
E o comprimento da curva C ´ e 2π
L=
0
θ θ 2r sin( ) dθ = − 4r cos( )
2
2
2π
0
= −4r cos π + 4r cos 0 = 8r
3. Comprimento em coordenadas polares
Dada C : r = f (θ), a ≤ θ ≤ b x = r cos θ = f (θ) cos θ,
y = r sin θ = f (θ) sin θ
b
r2 + (
L= a dr 2
) dθ dθ Ex.4 Calcule o comprimento da cardi´ide r = 1 + sin θ o Solu¸˜o. ca 2π
r2
L=
0
dr
+ ( )2 dθ =
dθ