Coordenadas Polares

Coordenadas Polares - O que são?

Um sistema de coordenadas num ponto consiste em um ponto O fixo, chamado de pólo (origem) e de um raio que parte do pólo, chamado de eixo polar.

O Pólo Eixo polar

Num tal sistemas de coordenadas, podemos associar a cada ponto P no plano um par de coordenadas polares (r, θ), onde r é a distancia de P ao pólo e θ é o angulo entre o eixo polar e o raio OP. O numero r é chamado de coordenada radial de P e θ é a coordenada angular (ou angulo polar) de P.

P (r, θ) O r θ Pólo Eixo polar

As coordenadas polares de um ponto não são únicas

Exemplo: Veja como são representados os pontos (6,45º), (5,120º), (3,225º) e (4,330º).

Por exemplo: As coordenadas polares (1,315º), (1,-45º) e (1,675º) representam todas o mesmo ponto. Em geral, se um ponto P tiver coordenadas (r, θ), então

(r, θ + n ∙ 360º) e (r, θ – n ∙ 360º)

Também são coordenadas polares de P, para todo n inteiro não-negativo. Assim, todo ponto tem uma infinidade de coordenadas polares.

Relação entre coordenadas polares e cartesianas

Seja Oρθ um sistema de coordenadas polares no plano. Consideremos o sistema cartesiano ortogonal OXY, tal que o eixo-polar seja o semi-eixo positivo OX e o eixo−OY seja obtido rotacionando o eixo−OX de 90o no sentido anti-horário. Admitamos a mesma unidade de medida nos dois sistemas conforme podemos ver na figura abaixo:

Sistemas polar Oρθ e cartesiano OXY
Seja P = O um ponto no plano com