Coordenadas polares

Coordenadas Polares
At´ agora, sempre usamos as coordenadas retangulares, onde um ponto do plano ´ repree e sentado por um par de n´meros reais que representam as distˆncias entre um ponto e os u a eixos coordenados

P

Figura 1: As distˆncias aos eixos coordenados determinam o ponto do plano. a No entanto, um ponto do espa¸o pode ser representado e unicamente determinando se c soubermos a distˆncia at´ a origem e o ˆngulo que o segmento OP faz com a horizontal a e a P

Figura 2: Distˆncia e ˆngulo tamb´m determinam um unico ponto no plano. a a e ´
Desta forma, temos duas maneiras de “particionar” o plano. Uma usando coordenadas retangulares ou cartesianas outra usando coordenadas polares, como mostram as figuras a seguir:
1

Figura 3: Coordenadas Retangulares.

Figura 4: Coordenadas Polares.

Repare ainda que podemos passar de uma para outra: se P ´ um ponto cujas coordee nadas cartesianas s˜o (x, y ) e as polares (r, θ), ent˜o a a x = r. cos θ y = r.senθ
2

P

y r θ

x

Figura 5: Coordenadas Polares e retangulares.

Considere uma fun¸ao f definida numa regi˜o Ω como a da figura 6 e vamos ver o que c˜ a acontece quando adotamos as coordenadas polares.

Figura 6: Coordenadas Polares.
Veja que cada subregi˜o, tem o formato da regi˜o maior como indica a figura 7 a a
A ´rea de um c´ a ırculo de raio r, como sabemos, ´ e AC = πr2
Se temos dois c´ ırculos concentricos de raios r1 , r2 com r1 < r2 , ent˜o a ´rea da regi˜o a a a R (chamada coroa circular) compreendida entre as duas circunferˆncias ´: e e
2
2
AR = π (r2 − r1 )

A ´rea de um setor circular de raio r e de ˆngulo θ ´ a a e AS =

θ.r2
2

Logo, a ´rea de um peda¸o de abertura θ de uma coroa circular com raio menor r1 e a c raio maior r2 ´: e 2
2
θ.(r2 − r1 )
A=
2
3

Rij

∆r

∆θ

Figura 7: Coordenadas Polares.

Desta a forma a ´rea da regi˜o indicada no lado direito da figura 7 ´ a a e Aij =

∆θ.[(r2