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MÉTODOS ESTATÍSTICOS
Aula dia 17-09-2013
T+TP

Probabilidade Condicional;
•Teorema de Bayes;
•Teoria sobre acontecimentos;
• Axiomática das probabilidades;
•.
• Resolução de exercícios sobre a matéria dada.

1

Teorema de Bayes (1702-1761)
O interesse do teorema de Bayes para problemas biológicos e em particular de genética, reside no facto seguinte:
Observa-se um acontecimento B, que nós sabemos ser susceptível de ter sido ocasionado por um qualquer dos acontecimentos A1,A2,…,An. Pretendese saber qual a probabilidade de ter sido o acontecimento Ai e não outro qualquer a ocasionar
B.
2

Teorema de Bayes (1702-1761))
Sendo A1, A2,. . . .. , An acontecimentos formando uma partição de Ω, onde P(Ai)>0. Seja B outro acontecimento de Ω, tal que P(B)>0. Então para k=1,…, n tem-se:

3

Exercício: Aplicação Teorema de Bayes
Três máquinas, A,B e C, produzem 50%, 30% e 20% respectivamente do total de peças de uma fábrica. As percentagem de peças defeituosas destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça é seleccionada aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa.
Z – o acontecimento em que uma peça é defeituosa, então
P(Z)=P(A).(Z|A)+P(B)P(Z|B)+P(C)P(Z|C)
P(Z)=(0,50x0,03)+(0,30x0,04)+(0,2x0,05)
P(Z)=0,037

Exercício: Aplicação Teorema de Bayes
Considere o exemplo anterior. Suponha que uma peça, seleccionada aleatoriamente seja considerada defeituosa.
Qual a probabilidade de ter sido produzida pela máquina A?
P(A|Z)=[P(A)P(Z|A)]/[P(A).(Z|A)+P(B)P(Z|B)+P(C)P(Z|C)
P(A|Z)=0,405

Aplicação do Teorema de Bayes:
Diagnóstico Médico
Seja

P(M|S) = P(S|M)P(M)
P(S)

M = doença meningite
S = dor no pescoço
1
Probabilidade condicional Um Doutor sabe:
P(S|M) = 0.5

2
Probabilidades
a priori

P(M) = 1/50000
P(S) = 1/20

= 0,5*(1/50000) = 0,0002
1/20
A probabilidade de uma pessoa ter meningite dado que ela está com dor no pescoço é 0,02% ou ainda 1 em 5000.

Exercício
Pacientes com