Calculo

culoÍÆÁÎ ÊËÁ

ËÌ

Í

Å ×

ÈÖÓ a º Ë ÐÚ

Ä

ÄÇÆ

Ö

Ó

Ö Ò

ÊÁÆ

ÙÒ

Ó× Ë ÒØÓ×

¹

Ô ÖØ Ñ ÒØÓ

Å Ø Ñ Ø

×

×

f (x) = x3 + cx¸ ÓÑ c ÙÑ

ÓÒ×

Ö

ÙÒ Ó

ÓÒ×Ø ÒØ Ö Ðº f (x) ÔÖÓ

È Ö

Ø ÖÑ Ò ÖÑÓ× × Ö Þ ×

ÑÓ×

× Ù ÒØ ÓÖÑ

f (x) = 0 =⇒ x3 + cx = 0 =⇒ x(x2 + c) = 0 =⇒ x = 0 ÓÙ x2 + c = 0º

x2 + c = 0º

Æ ×Ø

×Ó¸ ÙÑ

× Ö Þ × x0 = 0

× ÓÙØÖ × Ù ×¸ x1

x2 ¸ × Ó

Ø ÖÑ Ò

× Ö ×ÓÐÚ Ò Ó

ÕÙ

Ó ÕÙ Ö Ø

×× ÓÖÑ ¸ × Å × x2 ≥ 0, ∀x ∈ Rº ÓÑÔÐ Ü ×¸ ÔÓ × x2 + c > 0, ∀x ∈ R¸ Ó Ö

Ó

ÓÒ×Ø ÒØ c ÓÖ ÔÓ× Ø Ú ¸ ÓÙ × f (x) × Ö ÓÖÑ

¸ × c > 0¸ ÒØ Ó Ø Ö ÑÓ× Ù × Ö Þ ×¸ x1

x2 ¸

ÙÖ ½

Ö

Ó

1 ÙÒ Ó f (x) = x3 + 5 x¸ ÓÑ c =

1 5

> 0º

Ë ÓÒ×Ø ÒØ c ÓÖ Ò × Ù ÒØ ÓÖÑ

Ø Ú ¸ ÓÙ ×

¸ × c < 0¸ ÒØ Ó x2 + c = 0 Ø Ö

Ù ×Ö Þ ×Ö

×

×Ø ÒØ ×

× Ù Ö

Ó× Ö

ÙÖ ¾

Ö

Ó

ÙÒ Ó f (x) = x3 − 2x¸ ÓÑ c = −2 < 0º

½

a) f (x) = x3 − 4x,
ËÓÐÙ Ó

Ü ÑÔÐÓ

× Ó

Ó Ö

Ó

b) g(x) = x3 + 4x,

× ÙÒ

×

×

× ÙÖ

c) h(x) = x3 − 9x,

d) F (x) = x3 + x + 1

a)

Ê Þ ×

Dom(f ) = R f (x) = 0 =⇒ x3 − 4x = 0 =⇒ x(x2 − 4) = 0 =⇒ x = 0 ÓÙ x2 − 4 = 0 √ =⇒ x = 0 ÓÙ x2 = 4 =⇒ x = 0 ÓÙ x = ± 4 ×× ÓÖÑ x0 = 0, x1 = −2 x2 = 2 × Ó × Ö Þ × f (x) × Ù Ö Ó

ÙÖ ¿
b)

Ö

Ó

ÙÒ Ó f (x) = x3 − 4xº

Ê Þ ×

Dom(g) = R g(x) = 0 =⇒ x3 + 4x = 0 =⇒ x(x2 + 4) = 0 =⇒ x = 0 ÓÙ x2 + 4 = 0 Å × x2 + 4 > 0, ∀x ∈ R. ÄÓ Ó g(x) Ø Ñ ÙÑ Ò Ö Þ Ö Ð Ù × Ö Þ × ÓÑÔÐ Ü × × Ù Ö Ó

ÙÖ

Ö

Ó

ÙÒ Ó g(x) = x3 + 4xº

¾

a)

Ê Þ ×

Dom(h) = R h(x) = 0 =⇒ x3 − 9x = 0 =⇒ x(x2 − 9) = 0 =⇒ x = 0 ÓÙ x2 − 9 = 0 =⇒ x = 0 ÓÙ x2 = 9 =⇒ x = 0 ÓÙ x = ±3 ÄÓ Ó¸ x0 = 0, x1 = −3 x2 = 3 × Ó Ö Þ × h(x) × Ù Ö Ó

ÙÖ
d) Dom(F ) = R F (x) = 0 =⇒ x3 + x + 1 = 0 ρ(x) = x3 + xº ×× ÓÖÑ ¸ ×

Ö

Ó

ÙÒ Ó h(x) = x3 − 9xº

Ê Þ ×

ÙÑ ÙÒ ×Ö Þ ×

ÓÒ× Ù ÖÑÓ× × Ó Ö Ó Ö Ó ρ(x)¸ ×Ø ØÖ Ò×Ð Ñ Ó Ø Ö ÑÓ× Ó Ö Ó F (x)º ρ(x) × Ó Ø ÖÑ Ò × ÔÓÖ ρ(x) = 0 =⇒ x3 + x = 0 =⇒ x(x2 + 1) = 0 =⇒ x = 0 ÓÙ x2 + 1 = 0 Å × x2 + 1 > 0, ∀x ∈ Rº ÄÓ Ó¸