calculo

CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA

Aula de Derivada
Definição da Primeira Derivada
Nesta seção, é definida a primeira derivada de uma função e são examinadas várias interpreta interpretações dela. A primeira derivada de uma função num ponto é a declividade da função neste ponto. A definição precisa deste conceito é a seguinte:
A declividade m de uma reta é definida como a tangente do seu ângulo de inclinação ou, de forma equivalente, como a taxa de variação da distância vertical (elevação) relativa relativamente à variação da distância horizontal (percurso), à medida que um ponto se move ao longo da reta, em qualquer ercurso), sentido (veja a Figura 2.13).

݉ =‫ݐ‬
ܽ݊ߠ =

‫ݕ‬ଶ − ‫ݕ‬ଵ ∆‫ݕ‬
=
‫ݔ‬ଶ − ‫ݔ‬ଵ ∆‫ݔ‬

A declividade de qualquer reta dada é uma constante isto é, a taxa de variação de y quando x varia é constante ao longo da reta. Contudo, para outras curvas a declividade não é constante e deve ser determinada para cada ponto em particular.
Suponha que (x1, y1) e (x2, y2) sejam dois pontos quaisquer da curva y = f(x). Então, a declividade da reta (chamada secante) que liga (x1, y1) e (x2, y2) é dada por

݉ ௦௘௖ =

‫ݕ‬ଶ − ‫ݕ‬ଵ ∆‫ݕ‬
=
‫ݔ‬ଶ − ‫ݔ‬ଵ ∆‫ݔ‬

Suponha, agora, que o ponto (x1, y1) seja fixado, enquanto o ponto (x2, y2) é movimentado ao longo da curva y = f(x), em direção ao ponto (x1, y1 ). À medida que o ponto (x2, y2) se move, em geral, a declividade da reta que liga (x1, y1) e (x2, y2) variará. Entretanto, pode acontecer — e acontece realmente para a maioria das curvas encontradas na prática — que à medida que o ponto
Profª Cristiane Pinho Guedes

(x2, y2) se aproxima cada vez mais do ponto (x1, y1), a declividade da reta secante varia em quantidades cada vez menores e, de fato, aproxi aproxima-se de um valor limite constante. Quando isto se acontece, diz-se que o valor limite é a declividade da tangente à curva em (x1, y1) [(veja a Figura se declividade
2.14)].
De modo mais