Axiomática

AXIOMÁTICA
CAPÍTULO II AS PRIMEIRAS AXIOMÁTICAS

Nascimento da axiomática A axiomática pode ser considerada resultado da aritmetização da análise que ocorreu na matemática a partir da segunda metade do séc. XIX, provocada sobretudo por Weierstrass. A primeira tentativa de axiomatização da geometria foi feita por Pasch, em 1882. Ele definiu as condições fundamentais que uma exposição dedutiva deve satisfazer para ser verdadeiramente rigorosa: -Os termos primeiros em função dos quais todos os outros serão definidos devem ser enunciados explicitamente; - As proposições primeiras em função das quais todas as outras serão demonstradas devem ser enunciados explicitamente; - As relações enunciadas entre os termos primeiros devem ser relações lógicas puras, independentes do sentido concreto que possa ser atribuído aos termos; - Só essas relações devem intervir nas demonstrações, independentemente do sentido dos termos (o que exclui de modo particular o recurso à consideração das figuras).

Para a axiomatização da matemática também contribuíram o formalismo de Peano, Russell, Frege e, especialmente, a obra de Hilbert. Mas a axiomática não se limita hoje ao domínio da matemática: em física, é estudada como objetivo final ou, pelo menos, como formulação última e mais satisfatória; qualquer disciplina que atinja certo grau de rigor tende a assumir a forma axiomática. O significado da axiomática pode ser resumido brevemente nos pontos seguintes:

1) Axiomatizar uma teoria significa, em primeiro lugar, considerar, em lugar de objetos ou de classes de objetos providos e caracteres intuitivos, símbolos oportunos, cujas regras de uso sejam fixadas pelas relações enumeradas pelos axiomas. Como tais símbolos são desprovidos de qualquer referência intuitiva, a teoria formal assim obtida é passível de múltiplas interpretações, que se chamam modelos. Mas o modelo, aqui, não é um arquétipo preexistente à teoria, e mesmo a teoria concreta original, que forneceu os dados para o