Arranjo Simples

Aula: 24
Temática: Arranjo Simples

Imaginemos um conjunto B com n elementos e p um número natural, com p ≤ n. Chamamos um arranjo simples p a p, os n elementos de B, a cada subconjunto ordenado, de p elementos de B. Como o subconjunto é ordenado, temos que sejam distintos quanto à ordem. Então chamaremos de A p ou An,p n ao número de arranjo de n objetos, p a p.
Daí teria: p posições
⇓
Possibilidades

⇓

⇓

⇓

⇓

⇓

n

(n - 1)

(n - 2)

(n - 3)

(n-p+2)

(n-p+1)

Logo, A p = n.(n - 1).(n - 2)...(n - p + 1) n An,p =

n!
(n − p)!

Este símbolo agora apresentado “ ! ” significa fatorial, e é fácil de entender como usá-lo:
Fatorial de 4 = escreve-se 4! ⇒ 4 x 3 x 2 x 1= 24
Fatorial de 5 = escreve-se 5! ⇒ 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 120

Exemplo
A 2 ou A4,2 = 4 x 3 = 12
4
A 3 ou A5,3 = 5 x 4 x 3 = 60
5

Exercícios Resolvidos
1) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos significativos?

MATEMÁTICA: FUNDAMENTOS BÁSICOS

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Resolução: A 9

Os algarismos significativos são: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
1º posição: – 9 possibilidades
2º posição: – 8 possibilidades

(Obs.: após preenchida a 1º pos)

3º posição: – 7 possibilidades

(Obs.: após preenchida a 2º pos)

4º posição: – 6 possibilidades

(Obs.: após preenchida a 3º pos)

Pelo princípio da multiplicação, temos:
9 x 8 x 7 x 6 = 3024

2) Uma linha telefônica é formada de 7 algarismos. Quantas linhas podem se formar para que tenham todos os algarismos diferentes que comecem com 5 e terminem com 0?
Resolução:
As linhas são da forma:

5

0
5 algarismos

O 5 deve ser fixado na 1º posição, e o zero na última. Restam 5 posições e 8 algarismos distintos. Basta arranjar 8 algarismos 5 a 5.
A8,5 =

8!
8!
=
= 6720
(8 − 5)!
3!

Lembre-se:
Para percebermos que se trata de um arranjo basta ver a “ordem” que os elementos influem - veja isso nos exercício a seguir.

3) Oito pessoas participam de uma