Algebra

Quando nos referimos a determinantes referimos a um numero associado a uma matriz quadrada A=|aij| det A ou |A| ou det |aij| então: det |a| = a det a11 a12 = a11 a12 = a11 a21 – a12 a22 a21 a22 a21 a22

O conceito de uma determinante no caso geral envolve muitos símbolos, ou seja para termos mais fácil temos que lembrar o que significa uma permutação. Dados n objetivos distintos a1.......an.
Ex: (123) é uma permutação dos números 1,2 e 3, (2 1 3) e outros permutação, etc.
A quantidade de permutação de n objetos é dada o por n! que é lido n fatorial e n!=n(n-1)(n-2)... 2.1(se n>o). Ex: 3! = 3.2.1 = 6, definisse ainda 0! = 1 Com uma permutação dos números inteiros 1,2,....,n, existe na inversão quando um inteiro precede outro menor que ele, em cada permutação. Permutação | Números de Inversões | (1 2 3) | 0 | (1 3 2) | 1 | (2 1 3) | 1 | (2 3 1) | 2 | (3 1 2) | 2 | (3 2 1) | 3 | Ex.01:

Ex.02: Podemos tomar duas das 4! = 24 permutação de 1,2,3,4 com tanto (3 2 1 3) tenha 3 inversões e (4 3 2 1)possui 6 inversões. Voltando ao determinante:

a11 a12 a13 = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 – a12 a23 a31 – a13 a21 a32 – a13 a21 a31 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Observando podemos perceber todos os produtos a1/1, a2/2, a3/3 onde (/1 /2 /3) são as permutação de 1, 2 e 3, e podemos observar também que o sinal é negativo. Generalizando o determinado e uma matriz quadrada |aij|n x m.
Det |aij| = ∑ (-1)J a1/1 a1/2 .... an/n
Onde J=J(j1,...,jn), o numero de inversões de permutação (j1, j2,...,jn) e para indica que a soma é estendida a todas as n! permutações de (1,2,...,n).
Com estas definições podemos jazer três observações: i. Se a permutação (j1, j2,...,jn) tem um numero par de inversões e coeficiente (-1)j somando os termos terá sinal positivo ou negativo. ii. Em cada termo somado, existe apenas um elemento a cada linha e apenas um elemento de cada coluna da