algebra linear

1. Espaços vetoriais
O conceito de espaço vetorial unifica o estudo de objetos aparentemente diferentes como: a) o conjunto dos vetores livres da geometria euclidiana
b) n , o conjunto das n-uplas x 1 , x 2,..., x n de números reais
c) o conjunto F das funções definidas em com valores em : F f/f :
Considerados pelas propriedades das operações abaixo definidas, esses três exemplos têm a mesma estrutura algébrica, qual seja, a estrutura de espaço vetorial.
Def :
Um espaço vetorial real é um conjunto V munido de duas operações
A
V V V
ME
V V u, v u v
,v
v a primeira chamada adição, a segunda multiplicação por um escalar, as quais verificam :
A1 u v w u v w
A2 u

v

v

u

A 3 Existe um elemento em V indicado por 0 tal que u
A 4 Para cada u
ME 1

u u u

ME 4 1u

u

V existe um elemento em V indicado por u tal que u

u

0

u

ME 2
ME 3

0

v

u

u

u

v

u

onde u, v e w são elementos quaisquer de V e e elementos quaisquer de .
Os elementos de V são chamados vetores e os de escalares.
Um componente importante desta definição é que o espaço é fechado em relação às duas operações. Podemos resumir esta propriedade da seguinte maneira:
1) Se x V e se é um escalar, então x V;
2) Se x e y V, então x y V.
EXEMPLOS
Podemos citar mais alguns exemplos de espaços vetoriais:
d) 2 com a adição e multiplicação usuais é um espaço vetorial real pois verifica os oito axiomas acima. Convem lembrar que o elemento neutro da adição 0 v é o par ordenado 0, 0 .
e) M m n R , o conjunto das matrizes reais de m linhas e n colunas, com as operações usuais de adição e multiplicação por um número real, e o elemento neutro da adição é a matriz nula.
f) o conjunto P das funções polinomiais reais, com as operações usuais de adição e multiplicação por número real, onde o elemento neutro da adição é o polinômio 0x n . . . 0x 0
g) o conjunto C a, b de todas as funções reais e contínuas em a, b , com as operações usuais
de