Algebra linear exercicios com respostas

Prova 2 (Modelo). Álgebra Linear. 2015. Eng.

1. Ache todos os valores de x para os quais o sistema de vetores é linearmente dependente: a=(1; 1;-1)T;b=(1;2;-3)T; c=(1;x;x2-2)T. Resp. (x1=1; x2=-3).
2. Verifique quais dos vetores a=(3;6;-3;4) T; b=(2;3;-1;3) T; c=(2;-1;1;0) T pertencem ao subespaço U gerado pelos vetores [(1;1;-1;1) T; (1;2;0;2) T;(1;3;-2;1) T].
Resp.: a, bU, cU.
3. Ache uma dependência linear entre os vetores: a=(1;-1;3)T;b=(1;2;-2)T; c=(1;-1;-2)T;d=(3; 0;-1)T. Resp: 1a+1b+1c-1d=0.
4. a) Determine a dimensão e uma base do subespaço U do R4:
U={(x, y, z, t)R4 : x – y – t = 0; z – t = 0}
Resp.:B(U)=; dim(U)=2. b) Determine a dimensão e uma base do subespaço U do R3:
U={(x, y, z)R3 : x – y – z = 0; 2x – 5y – 3z = 0}
Resp.:B(U)=; dim(U)=1.

5. Determine se os vetores geram o espaço R3:
A). a=(1;-1;3)T;b=(1;2;-2)T; c=(1;-4;8)T;d=(4;5;-3)T. Resp.: não geram
B). a=(1;1;2)T;b=(1;1;-1)T; c=(1;-2;3)T;d=(1;1;1)T. Resp. geram
6. A solução geral do sistema homogêneo:

apresenta um subespaço VR5. Ache uma base e a dimensão deste subespaço. Resp.:B(V)=; dim(V)=3.
7. Ache todos os autovalores e autovetores da matriz A. Obs. : polinômio característico p = [1 -2 -1 2]

Resp. Autovalores: 1=1; 2=-1; 3=2; Autovetores: x1=(1;0;2)T; x2=(0;1;-1)T; x3=(1;1;0)T;