Algebra

------------------------------------------------- Álgebra linear ------------------------------------------------- Espaços vetoriais ------------------------------------------------- ------------------------------------------------- Definição Um espaço vetorial é formado por: 1. Um conjunto cujos elementos serão chamados de vetores; 2. Um corpo cujos elementos serão denominados escalares; 3. Uma operação conhecida como adição de vetores; 4. Uma operação chamada de multiplicação por escalar. Neste wikilivro, será escrito simplesmente para denotar Normalmente, o corpo K é o corpo dos números racionais, dos números reais ou dos números complexos. Definição Dizemos que é um espaço vetorial sobre quando as operações e satisfazem as seguintes propriedades: Adição 1. Para cada (comutatividade) 2. Para cada (associatividade) 3. Existe um vetor tal que para cada (neutro aditivo) 4. Para cada existe tal que (inverso aditivo) Multiplicação por escalar 1. Para cada e cada (distributividade) 2. Para cada e cada (distributividade) 3. Para cada e cada (associatividade) 4. Para cada (neutro multiplicativo) ------------------------------------------------- ------------------------------------------------- Exemplos * e são espaços vetoriais reais (ou seja, sobre o corpo ). * O conjunto formado pelo único número real 0, ou seja, {0}, é um espaço vetorial sobre * é um espaço…

então os segmentos (A,B) e (B,A) são segmentos opostos. Dois segmentos orientados, (A,B) e (C,D), são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento ou quando ambos forem nulos. Anotação para segmentos equipolentes é a seguinte: (A,B) ~ (C,D). Veja na figura abaixo representações de segmentos orientados equipolentes. A relação de equipolência de segmentos orientados tem as seguintes propriedades: a) Reflexiva: (A,B) ~ (A,B); b) Simétrica: Se…

obtenção e a resolução de M equações linearmente independentes. As equações resultam da aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às malhas do circuito, que após substituição das características tensão-corrente dos componentes permitem obter um sistema de M equações a M incógnitas. A aplicação do método das malhas baseia-se em quatro passos principais, a saber: (i) determinação do número total de malhas do circuito e atribuição de um sentido às correntes respectivas; (ii)…

Capítulo 1 Equações Diferenciais Ordinárias 1.1- Noções Básicas de Equações Diferencias Ordinárias Definição 1.1(Equações Diferenciais): Chama-se equação diferencial a uma equação que contém as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes. Definição1.2(Equação Diferencial Ordinária): Chama-se equação diferencial ordinária Uma equação da forma envolvendo uma incógnita e suas derivadas ou suas diferenciais. Onde x é a variável…

Sejam u e v dois vectores linearmente independentes de um espaço vectorial real E. Determine o escalar α ∈ R para o qual os vectores αu + 2v e u − v são linearmente dependentes. Solução Os vectores serão linearmente independentes se a única combinação linear nula destes se obtiver com os escalares nulos: β 1 (αu + 2v) + β 2 (u − v) = 0 =⇒ =⇒ (β 1 α + β 2 ) u + (2β 1 − β 2 ) v = 0 Dado que u e v são linearmente independentes da expressão anterior resulta que: ½ β1α + β2 = 0 2β 1 − β 2 = 0…

multiplicacao por escalares: α · u ∈ W . ¸˜ A3 Comutatividade da adicao: u + v = v + u. ¸˜ A4 Associatividade da adicao: (u + v) + w = u + (v + w). ¸˜ A5 Existˆ ncia de elemento neutro da adicao: existe um elemento em W , e ¸˜ designado por 0 (zero), tal que 0 + u = u. A6 Existˆ ncia de sim´ trico: para cada elemento u ∈ W existe um elemento e e u′ ∈ W tal que u + u′ = 0. A7 Associatividade da multiplicacao por escalares: (αβ) · u = α(β · u). ¸˜ A8 Distributividade: α ·…

a matriz 2 0 A= ´e uma matriz (vetor) coluna. Duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] da mesma ordem m × n dizem-se iguais se aij = bij para i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Neste caso escrevemos A = B. Dizemos que B ´e uma submatriz de uma matriz A se B se obt´em de A eliminando linhas e/ou colunas de A. Exemplo 3. A matriz B= 4 0 −1 −4 4 1 MATRIZES M. Aguiar, S. Furtado, J.M. Oliveira, H. Reis ´e uma submatriz da matriz  4  2 A=  −1 3  1 0 1 1   5 −4  4 −1 dado que…

inicial. Os valores específicos y(x0) = y0, y´(x0) = y0´, ..., y(n-1)(x0) = y0(n-1) são chamados de condições iniciais. Procuramos uma solução em algum intervalo I contendo x0. No caso de uma equação linear de segunda ordem, uma solução para o problema de valor inicial [pic] [pic] [pic], é uma função que satisfaça a equação diferencial em I cujo gráfico passa pelo ponto (x0, y0) com inclinação igual a y0´. O próximo teorema nos fornece condições suficientes para a…

seus teoremas, proposições, algumas propriedades, exemplos e aplicação prática. Esperasse agradar ao leitor e aos demais, pedimos imensas desculpas se por acaso tiver em falta algo a mais e importante sobre o tema. Espaços Vectoriais e Subespaços Página 2 de 28 Instituto Superior Politécnico do Songo ESPAÇOS VECTORIAIS E SUBESPAÇOS 1. Espaços Vectoriais Introdução Designa-se por Espaço Vectorial o conjunto de todas as n-uplas1 de números reais.  Exemplos: o…

resolvidos analiticamente) equações diferenciais parciais não lineares pode ser resolvida analiticamente só em casos particulares. Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas. Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição. Os métodos aproximados buscam uma…