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Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Derivadas Direcionais Suponha que desejamos calcular a taxa de variação de z = f (x), x = (x1, x2, . . . , xn ), no ponto a = (a1, a2, . . . , an ) na direção de um vetor unitário u = (u1, . . . , un ). Lembre-se que um vetor u é unitário se kuk = 1. Exemplo 1 Suponha que f (a) é a temperatura no ponto a numa sala com ar-condicionado mas com a porta aberta. Se movemos na direção da porta, a temperatura irá aumentar. Porém, se movemos na direção do ar-condicionado, a temperatura irá diminuir. A taxa de variação de z = f (x) em a na direção de u é a derivada direcional. Note que derivada direcional de depende tando do ponto a como da direção u na qual afastamos de a. Definição 2 Derivada Direcional Seja f : D → R uma função de n variáveis, isto é, D ⊆ Rn . Considere um ponto a no interior de D e u ∈ Rn um vetor com kuk = 1. A derivada direcional de f em a na direção u é Duf (a) = lim h→0 f (a + hu) − f (a) h , se esse limite existir. Observação A distância entre a e a + hu é |h|. Logo, o quociente f (a + hu) − f (a) h representa a taxa média de variação de f por unidade de distância sobre o segmento de reta de a à a + hu. Derivada Direcional e as Derivadas Parciais A derivada direcional generaliza…

e Mínimos Restritos ....................................................... 33 9. Integrais Duplas ........................................................................... 36 10. Integrais Triplas ............................................................................ 42 11. Coordenadas Polares .................................................................. 45 3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1. INTRODUÇÃO Vamos estender o conceito de função a…

corpo junto à superfície da Terra g = 10 m s–2 Massa da Terra M T = 5,98 × 1024 kg Constante da Gravitação Universal G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2 Constante de Avogadro NA = 6,02 × 1023 mol–1 Constante de Stefan-Boltzmann σ = 5,67 × 10–8 W m–2 K – 4 Produto iónico da água (a 25 °C) Kw = 1,00 × 10–14 Volume molar de um gás (PTN) Vm = 22,4 dm3 mol–1 FORMULÁRIO • Concentração de solução…

2 Use a regra da cadeia para resolver: z z e u v z z b) Dado que z = ln (x2 – y2), x = u2 + v, y = u – v3, encontre e u v a) Dado que z = x2 – y2, x = u cos v, y = u sen v, encontre 3. O volume V de um cone circular é dado por: V   24 y 2 4s 2  y 2 Onde s é o comprimento da geratriz e y o diâmetro da base. a) Encontre a taxa instantânea de variação do volume em relação à geratriz se o diâmetro é mantido constante com o valor de y = 16 centímetros,…

Termodinâmica Temperatura 1. (a) Em 1964, a temperatura na aldeia siberiana Oymyakon chegou a -71 °C. A que temperatura isso corresponde na escala Fahrenheit? (b) A temperatura mais alta já registrada nos Estados Unidos foi de 134 ºF, no Vale da Morte, na Califórnia. Qual o valor desta temperatura na escala Celsius? Resposta: a) -95,8 °F b) 56,67 °C 2. Suponha que, numa escala de temperatura X, a água ferva a -53,5 ºX e congele a -170 °X. Qual o valor de 340 K, na escala X? Resposta: -…

898 IIII CÁLCULO 13. (a) Escreva uma expressão como limite para a derivada 16. (a) Seftem direcional de f em (xo' Yo) na direção do vetor unitário u = (a, b). Como interpretá-Ia como taxa de variação? Como interpretá-Ia geometricamente? (b) Se f é diferenciável, escreva uma expressão para DJ(xo'yo) em termos defx um máximo local em (a, b), o que você pode dizer de suas derivadas parciais em (a, b)? (b) O que é um ponto crítico de f? 17. Qual é o Teste da Segunda…

II, 5° Edição. São Paulo 2006. ORGANIZAÇÃO CAP. 0 – APRESENTAÇÃO CAP. 1 (CAP. 14) – DERIVADAS PARCIAIS 1.1 (14.1) – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1.2 (14.2) – LIMITES E CONTINUIDADE 1.3 (14.3) – DERIVADAS PARCIAIS (14.4) – PLANOS TANGENTES E APROXIMAÇÕES LINEARES 1.4 (14.5) – REGRA DA CADEIA 1.5 (14.6) – DERIVADAS DIRECIONAIS E O VETOR GRADIENTE (14.7) – VALORES MÁXIMO E MÍNIMO (14.8) – MULTIPLICADORES DE LAGRANGE ORGANIZAÇÃO CAP. 2 (CAP. 15) – INTEGRAIS…

2­ 46) , função é uma regra que associa a cada objeto em um conjunto A a um objeto de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B é chamado de contradomínio. 2.1 Exercicios 1) Calcule os valores indicados da função dada: 3 se t< −5 t + 1 se−5≤t ≤5 ; a)f(x)= 3x2 +5x­2; f(0) , f(­2), f(1). 2) f  t =  t se t> 5 f  −6  ,f  −5  ,f  16  3) Especifique o domínio das funções 3 2 a) f(x)=x ­3x +2x+5 b) g  x = t+ 1 x 2 5 c) y= …

DE CALOR, EM REGIME PERMANENTE...................................................................................................28 EXERCÍCIOS.......................................................................................................................30 Condutibilidade Térmica...................................................................................................30 Relação entre Primeira Lei da Termodinâmica e Transferência de Calor........................30…

variáveis e estenderemos, assim, a definção para um número arbitrário de variáveis. Iniciemos com a definição de funções de duas variáveis reais: Definição 1 Seja A ⊂ R2 . Desta forma, os elementos de A são pares de números reais da forma (x, y). Uma função f : A → R é uma função de duas variáveis reais que associa para cada par ordenado (x, y) ∈ A, um único valor z = f (x, y) ∈ R. De acordo com a lei de Gay-Lussac, volume de uma gás ideal é dado em termos da pressão e da temperatura…