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Lista de Cálculo III
1. Determine as derivadas parciais:

f f f f f
; ;
;
;
;
x y x 2 y 2 xy

a) f(x,y) = sen (2x-y).

e) f(x,y) = e2xy

b) f(x,y) = 3x3 – 2xy4 + 5y2 –9.

f) f(x,y) = sen (3x-5y)

c) f(x,y) = 2x2 – 3y4 +2xy3

g) f(x,y) = 3x – 2xy + 5y –9

d) f(x,y) = y4 sen 2x

h) f(x,y) = x y – 4y + 5x y –9x

2.

3

4

3 2

2

2 3

2

Use a regra da cadeia para resolver:

z z e u v
z z
b) Dado que z = ln (x2 – y2), x = u2 + v, y = u – v3, encontre e u v
a) Dado que z = x2 – y2, x = u cos v, y = u sen v, encontre

3. O volume V de um cone circular é dado por: V 


24

y 2 4s 2  y 2

Onde s é o comprimento da geratriz e y o diâmetro da base.
a) Encontre a taxa instantânea de variação do volume em relação à geratriz se o diâmetro é mantido constante com o valor de y = 16 centímetros, enquanto a geratriz s varia. Calcule essa taxa no instante em que s = 10 cm.
b) Suponha que o comprimento da geratriz permaneça constante com o valor de s = 10 centímetros. Considerando que o valor do diâmetro varia, encontre a taxa de variação do volume em relação ao diâmetro quando y = 16 cm.
4. A área A da superfície lateral de um cone circular reto de abertura h e raio da base r é dada por A   r h 2  r 2 .
a) Se r é mantido fixo em 3 cm, enquanto h varia, encontre a taxa de variação de A em relação à h no instante que h = 7 cm.
b) Se h é mantido fixo em 7 cm, enquanto r varia, encontre a taxa de variação de A em relação à r no instante que r = 3 cm.
5. Se f é uma função diferenciável e a e b são constantes, demonstre que
z
z
 bx  0 . z  f 12 bx 2  13 ay3 satisfaz a equação diferencial parcial ay 2
x
y du u dx u dy


6. Dada u = x2 + 2 x y + y2; x = t cos t, e y t sen t, encontre dt x dt y dt
( Se u é uma função diferenciável de duas variáveis x e y, e que ambas sejam funções diferenciáveis de uma só variável t, então em lugar de derivada parcial de u em relação
a