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Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Faculdade de Tecnologia - FT

Cálculo de Várias Variáveis

Profa. Dra. Elaine Cristina Catapani Poletti

Limeira-SP
2013

Capítulo 1
Funções de Várias Varáveis
1.1

Introdução.

Estudaremos neste capítulo as funções de várias variáveis. Por várias vezes iniciaremos as discussões a partir de funções de duas variáveis e estenderemos, assim, a definção para um número arbitrário de variáveis.
Iniciemos com a definição de funções de duas variáveis reais:
Definição 1 Seja A ⊂ R2 . Desta forma, os elementos de A são pares de números reais da forma (x, y). Uma função f : A → R é uma função de duas variáveis reais que associa para cada par ordenado (x, y) ∈ A, um único valor z = f (x, y) ∈ R.
De acordo com a lei de Gay-Lussac, volume de uma gás ideal é dado em termos da pressão e da temperatura na forma:
V (T, P ) =

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kT
P

CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARÁVEIS

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onde k > 0 é uma constante que depende do gás.
Ou seja, a função indicada acima está escrita em termos de duas variáveis independentes: P e T .
Se tomarmos outra situação, tal como número de indivíduos N de uma certa população de crustáceo dependente da quantidade P de indivíduos, da quantidade de nutrientes A e da temperatura T . Ou seja, embora não se tenha exatamente a expressão matemática desta relação, sabe-se que:
N = N (P, A, T ) ou seja, esta relação é expressa em termos de uma função de três variáveis independentes.
Assim, generalizando a ideia, podemos formalizar a definição de uma função de várias variáveis como segue:
Definição 2 Seja A ⊂ Rn . Desta forma, os elementos de A são números reais x1 , x2 , ..., xn . Uma função definida sobre A com valores em R é uma associação que a cada elemento de A associa um número.
Consideremos os exemplos:
Exemplo 1 Seja f : R2 → R dada por: f (x, y) = x2 + y 2
Observe que função acima está definida para todos os pares (x, y) e pode ser interpretada geometricamente