Exercicios e solucoes calculo 2

898

IIII

CÁLCULO

13. (a) Escreva uma expressão como limite para a derivada

16. (a) Seftem

direcional de f em (xo' Yo) na direção do vetor unitário u = (a, b). Como interpretá-Ia como taxa de variação? Como interpretá-Ia geometricamente? (b) Se f é diferenciável, escreva uma expressão para DJ(xo'yo) em termos defx

um máximo local em (a, b), o que você pode dizer de suas derivadas parciais em (a, b)? (b) O que é um ponto crítico de f?

17. Qual é o Teste da Segunda Derivada?

«t,

14. (a) Defina o vetor gradiente Vfde uma funçãofde

duas ou três variáveis. (b) Exprima Doi em termos de Vf. (c) Explique o significado geométrico do gradiente.

18. (a) O que é um conjunto fechado em 1R2? que é um conO junto limitado? (b) Dê o enunciado do Teorema dos Valores Extremo para as funções de duas variáveis. (c) Como achar os valores que o Teorema dos Valores Extremos garante existirem? 19. Explique como o método dos multiplicadores de Lagrange funciona para determinar os valores extremos de f (x, y, z) sujeita à restrição g(x, y, z) = k. E se tivermos uma segunda restrição h(x, y, z) = c?

15. O que as seguintes sentenças significam?

(a)ftem (b)ftem (c)ftem (d)ftem (e)ftem

um um um um um

máximo local em (a, b). máximo absoluto em (a, b). mínimo local em (a, b). mínimo absoluto em (a, b). ponto de sela em (a, b).

TESTES VE RDAD EI RO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. I. f(a,b) y 7.

Seftem um mínimo local em (a, b) efé diferenciável e (a, b), então Vf(a, b) = O. Sefé uma função, então
(x,y)~(2,5)

=

f(a,y) lim -----y-ob

- f(a,b) y-b

8.

lim

f(x,y)=f(2,5) Vf(x,y)

2.

Existe uma função f com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tais quefx(x, y) = x + e i'y(x,y) = x

9.

Sef(x,y)

=

lny,então

=

l/y.

-i.

i

10. Se (2, 1) é um ponto crítico defe

3.