Geometria Analitica

RETA PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir. O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja: Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB. Temos: xP– xA = 2*(xM – xA) Xb – xA = 2*(xM – xA) xB – xA = 2xM – 2xA 2xM = xB – xA + 2xA 2xM = xA + xB xM= (xA+ xB)/2 Utilizando método análogo, conseguimos demonstrar que yM= (yA+ yB)/2. Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano: Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B. EXERCICIOS Exercicio 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB de extremos A(1, 9) e B(7, 5). Solução: Temos que Portanto, o ponto médio do segmento AB tem coordenadas M(4 , 7) Exercicio 2. O ponto médio do segmento PQ tem…

equação y=x² representa a parábola da figura 2 e a inequação x ≥ 4 representa o semiplano da figura 3. Figura 1: Ponto P Figura 2: Parábola Figura 3: Semiplano Distância Entre Dois Pontos Consideremos no eixo Ox dois pontos A e B com abscissas 3 e 7, respectivamente: Figura 4: Eixo Ox Quatro unidades u separam os pontos A e B. Por isso dizemos que a distância entre A e B é 4 ou que o comprimento do segmento AB é 4. Essa distância pode ser calculada como o módulo da…

Resumo Ponto médio Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P, que divide ao meio, temos: Assim: Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por: Baricentro de um Triângulo Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são os pontos médios dos lados , respectivamente. Portanto, são as medianas desse triângulo: Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo. Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas…

origem comum no ponto O. Eixo das abscissas: é o eixo horizontal (eixo dos x). Eixo das ordenadas: é o eixo vertical (eixo dos y ). Esses dois eixos dividem o plano cartesiano em quatro quadrantes. 1 y 1º Quadrante 2º Quadrante 0 3º Quadrante x 4º Quadrante 2 y Localização de um ponto yp 0 xp é a distância de P ao eixo dos y. yp é a distância de P ao eixo dos x. . P(x , y ) p xp p x 3 Exemplos: R(-4, 4) y 4 . . P(2, 3) T(2, 2) . . Q(3, 2) 3 2 S(-2, 1) -4 -3 …

Cantor-Dedekind. Distância entre dois pontos Os estudos em Geometria Analítica possibilitam a relação entre a Álgebra e a Geometria, abrangendo situações em que são envolvidos ponto, reta e figuras espaciais. Um conceito básico de Geometria deve ser aproveitado na GA, a fim de estabelecer a distância entre dois pontos: “por dois pontos passa apenas uma reta”. Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A e B. Podemos observar que os pontos possuem…

xOy. y y ( , +) (+, +) x O (-, -) x (+, -) 2.1. Propriedade dos eixos cartesianos Se P ( xp , yp ) pertence ao eixo das abscissas, então yp = 0 . Cada ponto do plano Cartesiano é representado por um par ordenado P ( xp , xp ) , em que xp representa Se P ( xp , yp ) pertence ao eixo das ordenadas, então xp = 0 . a abscissa (eixo horizontal) e yp representa a ordenada (eixo vertical). Os eixos coordenados separam o plano em quatro regiões denominadas quadrantes e ordenadas no…

Nemuel B Morais Distância entre dois pontos: 6) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,4) e tem coeficiente angular 2. 7) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,-2) e B(5,2). Obs: pode-se também colocar no plano cartesiano e 8)Dados os pontos A(2,4), B(8,5) e C(5,9). Pede-se: aplicar Pitágoras. a) O ponto médio de Ponto Médio: . b) A distância entre os pontos A e C. c) Um equação de reta que passa por A e B. Dados os…

Introdução Neste trabalho de matemática que aborda o assunto de Geometria Analítica, será tratado o ponto, plano cartesiano, distancia entre 2 pontos e ponto médio de um segmento. Será mostrada a definição, exemplos, exercícios resolvidos e representação ao longo do trabalho Geometria Analítica Definição do Ponto Em matemática, a expressão geometria analítica possui dois significados distintos. O…

CARTESIANO Ponto É representado por um par ordenado, ou seja, um par de elementos onde ordem é importante. DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS Consideremos dois pontos A e B tais que não seja paralela ao eixo x, nem ao eixo y. Traçando por A e B paralelas aos eixos coordenados, obtemos o triângulo retângulo ABC. 2 16/10/2011 DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS Exemplo de aplicação da fórmula da distância entre dois pontos 3 16/10/2011 DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS…

CAPÍTULO 1 O ponto no plano 1 - Estudo do Ponto no Plano (no R2) 1.1 - Par Ordenado e Coordenadas Cartesianas A notação (a, b) é usada para indicar o par ordenado de números reais a e b, no qual o número a é a primeira coordenada (ou abscissa) e o número b é a segunda coordenada (ou ordenada). Assim o par (3, 4) é diferente do par (4, 3), pois no primeiro a abscissa é 3 e a ordenada é 4, enquanto que no segundo a abscissa é 4 e a ordenada é 3. 1.2 - Produto Cartesiano O produto…