Riemann

abordado de uma forma muito mais rigorosa. Foi também durante este período que ideias do cálculo foram generalizadas ao espaço euclidiano e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou a noção de integral. Sobressaíram matemáticos como Cauchy, Riemann,Weierstrass e Maria Gaetana Agnesi. Esta foi autora da primeira obra a unir as ideias de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz; escreveu também um dos primeiros livros sobre cálculo diferencial e integral 1 . É dela também a…

seja limitada em R, f podendo ser descontinua num número …nito de curvas lisas, e a integral iterada exista. 8.2 Integrais Duplas Quando trabalhamos com funções de uma variável real f (x) sobre um intervalo [a; b] como limite da soma de Riemann, esta de…nição sugere o cálculo da área sob o grá…co de f onde a x b. Agora seja f uma função de duas variáveis e R é uma região no plano xy, que está contida no domínio de f , podemos considerar o volume V mostrado na …gura seguinte:…

x ≤ b . Como veremos logo abaixo, a integral definida nem sempre representa a área entre a curva e o eixo Ox. b ∫a f (x)dx Resumindo o que fizemos acima, a integral é calculada através de um “limite de somas”, chamadas de “somas de Riemann da função f no intervalo [a ,b]. b n ∑ f (xi ) ∆xi ∫ f (x) dx = lim Mais precisamente, y f(x) n →∞ i =1 a dx dx x 1.2 Observações 1) Em alguns casos este limite não existe, ou seja, a função não é…

Cálculo ainda era muito baixo. No século XIX, as infinitesimais foram substituídas pelos limites, os quais descrevem o valor de uma função em certo ponto em termos de valores de pontos. Ainda nesse século, o cálculo foi abordado por Cauchy, Riemann e Weierstrass com um formalismo mais rigoroso.Foi também durante este período que idéias do cálculo foram generalizadas ao espaço euclidiano e ao plano complexo. Dessa época até os dias atuais o Cálculo não cessou de se desenvolver…

4 16 4 1.6- Integral Definida Seja () uma função a uma variável, definida no intervalo [, ]. Suponha este intervalo [, ] subdividido sub-intervalos de comprimento iguais a ∆ e seja ∗ um ponto de um sub-intervalo i, onde 1 ≤ ≤ . A soma de Riemann é dada por ∗ ∆ =1 Se for tomado o limite deste somatório quando → ∞ obtemos a integral definida de de a até . () = lim →∞ ∗ ∆ → =1 Se > 0 em todo o intervalo [, ], a integral definida representa a…

contínua não negativa em [a,b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido T, gerado pela revolução de R em torno do eixo dos x, é definido por: V= limMax∆xi->0 (1) A soma que aparece em (1) é uma soma de Riemann da função [f(x)]². Como f é contínua, o limite em (1) existe,e então, pela definição da integral definida, temos: V = (2) A fórmula (2) pode ser generalizada para outras situações: (1) A função…

y0 onde utiliz´mos a representa¸ao do produto de complexos como produto matricial (exerc´ 1.15). a c˜ ıcio Em particular, (u, v) ´ diferenci´vel em (x0 , y0 ) e a matriz que surge acima ´ a jacobiana do campo e a e e obtemos as condi¸oes de Cauchy-Riemann: c˜ ∂u ∂v = , ∂x ∂y ∂v ∂u =− ∂x ∂y ∂u ∂x ∂v + i ∂x . (derivadas supostas calculadas em (x0 , y0 )). Tamb´m se vˆ que f (z) = e e Regras de deriva¸ao: mantˆm-se as regras de deriva¸ao conhecidas para fun¸oes reais de vari´vel c˜ e…

16 4 1.6- Integral Definida Seja () uma função a uma variável, definida no intervalo [, ]. Suponha este intervalo [ , ] subdividido sub-intervalos de comprimento iguais a ∆ e seja ∗ um ponto de um sub-intervalo i, onde 1 ≤ ≤ . A soma de Riemann é dada por ∗ ∆ =1 Se for tomado o limite deste somatório quando → ∞ obtemos a integral definida de de a até . ∗ ∆ → () = lim →∞ =1 Se > 0 em todo o intervalo [ , ], a integral…

4 16 4 1.6- Integral Definida Seja () uma função a uma variável, definida no intervalo [, ]. Suponha este intervalo [, ] subdividido sub-intervalos de comprimento iguais a ∆ e seja ∗ um ponto de um sub-intervalo i, onde 1 ≤ ≤ . A soma de Riemann é dada por ∗ ∆ =1 Se for tomado o limite deste somatório quando → ∞ obtemos a integral definida de de a até . () = lim →∞ ∗ ∆ → =1 Se > 0 em todo o intervalo [, ], a integral definida representa a…

de sua beleza e rigor, mostravam-se cada vez menos adequados a um mundo em franco progresso científico. Pois faltavam a eles operacionalidade e algoritmos para ter esses requisitos. Além dessas realizações podemos citar ainda Platão, Lobachevski, Riemann e tantos outros verdadeiros filósofos matemáticos, que aperfeiçoaram a geometria e nos possibilitaram, calcados em seu conhecimento, realizar este trabalho. 1 POLIEDROS 1.1 Introdução Uma região do plano se diz convexa quando o…