Apontamentos de aced

´ ANALISE COMPLEXA ELEMENTAR: resumo de t´picos o referidos nas aulas te´ricas o
Faculdade de Ciˆncias da Universidade de Lisboa, 2011 e

1

N´ meros complexos, fun¸˜es complexas u co
Propriedades do conjugado z : ¯ z z = |z|2 ¯ zw = z w ¯¯

Em particular z = ¯

1 z

se |z| = 1.

O m´dulo verifica a desigualdade triangular e ainda |zw| = |z||w|. o Nota¸ao polar para um n´mero complexo: c˜ u z = |z|(cos α + i sin α) (Se z = a + ib basta escrever (a, b) em coordenadas polares.) Defini¸ao de eiα com α ∈ R: eiα = cos α + i sin α. c˜ Multiplica¸ao de n´meros a partir da forma polar: c˜ u r1 eiα r2 eiβ = r1 r2 ei(α+β) . A α em (1) chamamos um argumento de z. α + i2kπ, k ∈ Z, tamb´m s˜o argumentos de z. e a As raizes de ´ ındice n (n ∈ N) de um n´mero z = reiα = 0, isto ´, as solu¸oes w de wn = z, s˜o u e c˜ a os n n´meros u r1/n ei(α+2jπ)/n , j = 0, 1 · · · , n − 1. Se f : A ⊂ C → C ´ uma fun¸ao, ent˜o para cada z = x + iy ∈ A h´ dois n´meros reais u(x, y) e c˜ a a u e v(x, y) tais que f (z) = u(x, y) + iv(x, y), ficando definidas duas fun¸oes reais u, v : A → R a que chamamos parte real e parte imagin´ria de c˜ a f: u = Re f, v = Im f. (1)

1

Defini¸ao de exponencial ez com z ∈ C: se z = x + iy c˜ ez = ex eiy = ex (cos y + i sin y). S˜o v´lidas as propriedades operat´rias usuais das potˆncias (em particular ez n˜o se anula!) a a o e a e ainda ¯ ez = ez . Al´m disso, ez ´ peri´dica de per´ e e o ıodo i2π: ∀z ∈ C, ez+i2π = ez . Fun¸oes logaritmo: ao resolver a equa¸ao ew = z com z = 0 encontramos c˜ c˜ w = log |z| + i arg(z). Se quisermos interpretar o 2o membro como uma fun¸ao “razoavelmente bem comportada”(que c˜ representamos por log(z)) devemos convencionar que arg indica um argumento com valores n˜o a amb´ ıguos, fixando o intervalo admiss´ para as imagens de arg: ]0, 2π[, ] − π, π[, etc. ıvel

√ Analogamente, podemos definir fun¸oes raiz. Por exemplo z (para z = reiα ) pode represenc˜ tar o n´mero |z|eiα/2 , ficando bem definida em C privado do eixo Ox+