Integral

TEXTOS DE CÁLCULO
TEMAS: A Integral Definida e a Integral Indefinida de uma Função
Adelmo R. de Jesus1

1.1 O Problema da Área de uma Curva Plana e a Integral Definida
As fórmulas para as áreas das figuras geométricas mais simples datam dos primeiros registros sobre matemática. Os egípcios, por exemplo, devido às freqüentes cheias do Rio Nilo, tinham que refazer os cálculos das áreas de suas terras. O papiro egípcio Ahmes (1.650 A.C) contém vários problemas que envolvem cálculos de áreas de retângulos, triângulos, trapézios e até aproximações de áreas circulares (C. Boyer , História da Matemática)
A tarefa de encontrar a área de uma figura menos conhecida não é tão y simples de resolver, e em geral não há uma fórmula elementar que nos diga como se obtém essa área. Arquimedes, cientista grego que viveu entre 287–212 A.C. se preocupou bastante com estes problemas, tendo calculado áreas e volumes de diversas figuras geométricas.
O procedimento usado nesses cálculos empregava o chamado
“método da exaustão” que consistia em “exaurir” ou “esgotar” a figura dada por meio de outras de áreas e volumes conhecidos. Este método é x atribuído a Eudoxo (406-355 A.C.), que foi quem primeiro deu uma prova satisfatória de que o volume de um cone é um terço do volume de um cilindro de mesma base e altura. 3

2

1

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Exemplo: Calcular a área da região limitada pela parábola y = x2 e o eixo Ox , no intervalo [0,1].
A idéia do método de exaustão está basicamente mostrada nas figuras abaixo: Divide-se o intervalo
[0,1] em algumas partes, e tomam-se retângulos de alturas f(x1), f(x2), f(x3), f(xn) “contidos” na região que queremos calcular a área. As bases desses retângulos são ∆x1 , ∆x 2 , ∆x3 , ∆x n . n Conseqüentemente a soma das áreas desses pequenos retângulos é An = ∑ f ( xi )∆xi , e nos dá uma i =1

aproximação cada vez melhor da área procurada.
Prosseguindo dessa forma, teremos que a

área do chamado