Geometria analitica

Geometria Analítica Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 O Plano Sistema de Coordenadas y y’ P Py x’ Considere o par de retas perpendiculares x e y; OA = OA’ = unidade; P = ponto qualquer do plano; A’ 1 1 O A Px x Por P, podemos traçar as retas x’ (paralela a x) e y’ (paralela a y), sendo essas retas as únicas possíveis. x’ e y’ interceptam x e y nos pontos Px e Py. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 2 O Plano Sistema de Coordenadas y y’ P Py A’ Se a e b são os valores nominais x’ de Px e Py em x e y, então eles Determinam o ponto P. Ou seja, conhecendo a e b, podemos determinar Px e Py e deles P. a e b são chamados, respectivamente, de abscissa e ordenada do ponto P e constituem as coordenadas de P: P(a, b) 1 1 O A Px x Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 3 O Plano Sistema de Coordenadas Simplificando.... y P(a, b) b a O Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br x 4 O Plano Distância entre dois Pontos • Sejam P(x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos do plano • Podemos calcular a distância entre P e Q usando triângulos de forma simples.... y P(x1, y1) y1 y2 Plano XY Q(x2, y2) x2 x1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br x 5 O Plano Distância entre dois Pontos y P

Álgebra Linear Autovalores e Autovetores Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Autovalores e Autovetores • Dada uma transformação linear de um espaço vetorial nele mesmo, T:V→V, gostaríamos de saber quê vetores seriam levados neles mesmos por essa transformação • Isto é, dada T:V→V, quais os vetores v∈V tais que T(v) = v? • v é chamado de vetor fixo • Obviamente, a condição é válida para v igual ao…

Linear Matrizes Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Matrizes • Uma matriz é uma estrutura bi-dimensional onde todos os elementos são do mesmo tipo • Os elementos são dispostos em linhas e colunas e cada célula dela é completamente identificada pela sua posição e seu valor • Exemplos: 2 1 3 5 4 7 1 2 3 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 2 Matrizes • Uma matriz de m linhas e n…

Inversa Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Conceitos Preliminares • Considere o sistema ax = b, a ≠ 0. • A solução para este sistema é x = b/a • Observe que o denominador está associado à matriz dos coeficientes do sistema • Em um sistema 2x2 teríamos: a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 x1 = b1a22 – b2a12 a11a22 – a12a21 x2 = b2a11 – b1a21 a11a22 – a12a21 Denominadores iguais 2 Prof. Carlos…

Álgebra Linear Matrizes Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Matrizes • Uma matriz é uma estrutura bi-dimensional onde todos os elementos são do mesmo tipo • Os elementos são dispostos em linhas e colunas e cada célula dela é completamente identificada pela sua posição e seu valor • Exemplos: 2 1 3 5 4 7 1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 2 3 2…

Álgebra Linear Espaço Vetorial Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Espaços Vetoriais • Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma, V X V → V, e multiplicação por escalar, R X V → V, tais que, para quaisquer u, v, w ∈V e a, b ∈ R, as seguintes propriedades sejam satisfeitas: Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 2 Espaços…

Álgebra Linear Espaço Vetorial Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Espaços Vetoriais • Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma, V X V → V, e multiplicação por escalar, R X V → V, tais que, para quaisquer u, v, w ∈V e a, b ∈ R, as seguintes propriedades sejam satisfeitas: Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 2 Espaços Vetoriais •…

Álgebra Linear Transformações Lineares Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Transformações Lineares • Funções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis • Muitos problemas podem ser representados por tais funções • Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear é uma função de V em W, F: V → W que satisfaz as condições: i) Quaisquer que sejam u e v em V:…

Álgebra Linear Tipos Especiais de Operadores Lineares Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Tipos Especiais de Operadores Lineares • Tipos especiais de operadores Operadores Auto-Adjuntos Operadores Ortogonais • Teorema: Sejam V um espaço vetorial com produto interno < , > e α = {u1, ..., un} base ortonormal de α. Então, se v e w são vetores de V com y1 x1 [v]α = … e [w]α = … xn yn • Temos: = x1y1 +…

capacidade de se atender um pedido. Se ocorrer um eventual atraso na entrega ou na produção, ou se a demanda superar a previsão, a organização conta com um estoque adicional que pode ser utilizado para evitar a falta do produto. baseado no livro de Jurandir Peinado e Alexandre R. Graeml preparado por Prof. Carlos Eduardo Oliveira 1 ESTOQUE DE SEGURANÇA TIPOS DE RESSUPRIMENTO DE ESTOQUES: 1. Sistema de revisão contínua. 2. Sistema de revisão periódica. 3. Sistema de duas…