ALGA

Álgebra Linear
Espaço Vetorial
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Espaços Vetoriais
• Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma, V X V → V, e multiplicação por escalar, R X V → V, tais que, para quaisquer u, v, w ∈V e a, b ∈ R, as seguintes propriedades sejam satisfeitas:

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Espaços Vetoriais
• Propriedades:
i) (u + v) + w = u + (v + w) ii) u + v = v + u iii) existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u
• 0 é o vetor nulo

iv) Existe –u ∈ V tal que u + (-u) = 0
v) a(u + v) = au + av, a escalar vi) (a + b)v = av + bv, a, b escalares vii) (ab)v = a(bv) viii) 1.u = u
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Espaços Vetoriais
• Designamos por vetor um elemento do espaço vetorial • Espaço vetorial é um termo genérico que pode ser designado para representar diferentes tipos de conjuntos • Exemplo: V = M(2, 2) é o conjunto de matrizes 2x2
V é um espaço vetorial
• Todas as propriedades anteriores são satisfeitas se a adição é entendida como a adição de matrizes
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Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 1: (u + v) + w = u + (v + w)

 u11 u12   v11 v12    w11 w12 
(u + v ) + w =  
 + v
  + w
=
 u

  21 u22   21 v22    21 w22 
 (u11 + v11 ) (u12 + v12 )  w11 w12 
=
 + w
=
(u21 + v21 ) (u22 + v22 )  21 w22 
 (u11 + v11 ) + w11 (u12 + v12 ) + w12   u11 + (v11 + w11 ) u12 + (v12 + w12 ) 
=
 = u + (v + w ) u + (v + w ) =
21
21
22
22
22 
(u21 + v21 ) + w21 (u22 + v22 ) + w22   21
u11 u12   (v11 + w11 ) (v12 + w12 )
=
 + (v + w ) (v + w ) =
21
22
22 
u21 u22   21
u11 u12    v11 v12   w11 w12  
=
 +  v Carlos Alexandrew de Mello  = u + (v + w )
 Prof. v  +  Barros