Álgebra linear

Algebra Álgebra Linear Determinante e Matriz Inversa
Prof. Carlos Alexandre Mello [e-mail] Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello [e-mail]

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Conceitos Preliminares
• Considere o sistema ax = b, a ≠ 0. • A solução para este sistema é x = b/a • Observe que o denominador está associado à matriz dos coeficientes do sistema • Em um sistema 2x2 teríamos: a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 x1 = b1a22 – b2a12 a11a22 – a12a21 x2 = b2a11 – b1a21 a11a22 – a12a21
Denominadores iguais
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Determinante
• Quando nos referimos ao determinante, isto é, ao número associado a uma matriz quadrada A = [aij], escreveremos det A ou |A| ou det[aij]

• Então: det[a] = a det a11 a12 = a11 a21 a22 a11 a21 a31 a21 a12 a22 a32 a12 = a11a22 – a12a21 a22 a13 a23 a33

det[A3x3] =

= ....

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3

Determinante 3x3
1 det  2  1  1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1  = (1 × 1 × 2 + 2 × 1 × 1 + 1 × 2 × 1 ) −  2 

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Determinante 3x3
1 2 1  det 2 1 1 = (1×1× 2 + 2 ×1×1 + 1× 2 ×1) −   1 1 2    − (2 × 2 × 2 + 1×1×1 + 1×1×1) 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1
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Determinante 3x3
1 2 1  det 2 1 1  = (1×1× 2 + 2 × 1× 1 + 1× 2 ×1) −    1 1 2   − (2 × 2 × 2 + 1×1× 1 + 1×1×1) = 6 − 10 = −4 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1
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Determinante
• Definição: Permutação é o ordenamento de um grupo de objetos, em que a ordem na qual estes objetos estão dispostos, faz diferença. • Exemplo: (1, 2, 3)
– Permutações: {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)}

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Determinante
• Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2, ..., n, existe uma inversão quando um