Livro Calculo Numerico

Teorema 3.4. Vejamos antes dois teoremas que ser˜ao utilizados na prova desse Teorema. Teorema 3.2 - Teorema do Valor M´ edio - Se f ´e cont´ınua em [a,b] e diferenci´ avel em (a,b) ent˜ ao existe pelo menos um ponto ξ entre a e b tal que: f (ξ) = f (b) − f (a) , isto ´e , f (b) − f (a) = f (ξ)(b − a) . b−a Prova: A prova deste teorema pode ser encontrada em [Swokowski,1983]. Teorema 3.3 - Teorema da Permanˆ encia do Sinal - Seja f uma fun¸c˜ ao real de vari´ avel real definida e cont´ınua numa vizinhan¸ca de x0 . Se f (x0 ) = 0 ent˜ ao f (x) = 0 para todo x pertencente a um vizinhan¸ca suficientemente pequena de x0 . Prova: A prova deste teorema pode ser encontrada em [Swokowski,1983]. Teorema 3.4 - Seja ψ(x) uma fun¸c˜ ao cont´ınua, com derivadas primeira e segunda cont´ınuas num intervalo fechado I da forma I = (¯ x − h, x ¯ + h), cujo centro x ¯ ´e solu¸c˜ ao de x = ψ(x). Seja x0 ∈ I e M um limitante da forma, |ψ (x)| ≤ M < 1 em I. Ent˜ ao: a) a itera¸c˜ ao xk+1 = ψ(xk ), k = 0, 1, . . ., pode ser executada indefinidamente, pois xk ∈ I, ∀ k. b) |xk − x ¯| → 0. c) Se ψ (¯ x) = 0 ou ψ (¯ x) = 0 e ψ (¯ x) = 0 e se |x0 − x ¯| for suficientemente pequeno ent˜ ao a sequˆencia x1 , x2 , . . . ser´ a monotˆ onica ou oscilante. Prova: a) Usaremos indu¸c˜ ao para provar que xk ∈ I, ∀ k. i) Por hip´ otese x0 ∈ I. ii) Supomos que x0 , x1 , . . . , xk ∈ I. iii) Provemos que xk+1 ∈ I. Temos: xk+1 − x ¯ = ψ (xk ) − ψ (¯ x) . Usando o teorema do Valor M´edio, obtemos: xk+1…

os espaços habitáveis. 3. Direito Urbanístico É definido por José Afonso da Silva nos seguintes termos: “Consiste no conjunto de normas que têm por objeto organizar os espaços habitáveis de modo a propiciar melhores condições de vida ao homem na comunidade”, enquanto direito positivo, e “o ramo do Direito Público que tem por objeto expor, interpretar e sistematizar as normas e princípios disciplinadores dos espaços habitáveis” enquanto ciência. Muito se discute se o Direito…