Ortogonal E Ortonormal

an n = n de onde se conclui que an = Finalmente, usando ψ = an = m ∗ ψn ψdq am ψm , temos ∗ dqψn am ψm = m am ∗ ψn ψm dq m de onde se conclui que ∗ dqψn ψm = δnm Diz-se ent˜o que as autofun¸˜es s˜o ortogonais. a co a 6.1 Valor m´dio e Vamos introduzir agora o conceito de valor m´dio f da quantidade f´ e ısica f em um dado estado. Sejam fn os valores poss´ ıveis de f , ou seja, seus autovalores 13 . Sejam |an |2 as…

an n = n de onde se conclui que an = Finalmente, usando ψ = an = m ∗ ψn ψdq am ψm , temos ∗ dqψn am ψm = m am ∗ ψn ψm dq m de onde se conclui que ∗ dqψn ψm = δnm Diz-se ent˜o que as autofun¸˜es s˜o ortogonais. a co a 6.1 Valor m´dio e Vamos introduzir agora o conceito de valor m´dio f da quantidade f´ e ısica f em um dado estado. Sejam fn os valores poss´ ıveis de f , ou seja, seus autovalores 13 . Sejam |an |2 as…

an n = n de onde se conclui que an = Finalmente, usando ψ = an = m ∗ ψn ψdq am ψm , temos ∗ dqψn am ψm = m am ∗ ψn ψm dq m de onde se conclui que ∗ dqψn ψm = δnm Diz-se ent˜o que as autofun¸˜es s˜o ortogonais. a co a 6.1 Valor m´dio e Vamos introduzir agora o conceito de valor m´dio f da quantidade f´ e ısica f em um dado estado. Sejam fn os valores poss´ ıveis de f , ou seja, seus autovalores 13 . Sejam |an |2 as…

a∗n ψn∗ dq ψ n a∗n = ψn∗ ψdq n a∗n an = n de onde se conclui que an = Finalmente, usando ψ = an = m ψn∗ ψdq am ψm , temos dqψn∗ am ψm = m am ψn∗ ψm dq m de onde se conclui que dqψn∗ ψm = δnm Diz-se ent˜ao que as autofun¸c˜oes s˜ao ortogonais. 6.1 Valor m´ edio Vamos introduzir agora o conceito de valor m´edio f da quantidade f´ısica f em um dado estado. Sejam fn os valores poss´ıveis de f , ou seja, seus autovalores 13 . Sejam |an |2 as probabilidades de cada um dos…

o problema de Dirichlet para o disco. A equação de Laplace é invariante por translação, dilatação e rotação. As duas primeiras simetrias são imediatas, mostraremos a invariância por rotação: se ∆u(x) = 0, então ∆u(Ox) = 0, onde 0 é uma matriz ortogonal (OOT = OT O = I). De fato, seja v(x) = u(Ox), então fazendo y = Ox, temos vx i = ∑ k uyk (y) ∑ ∂yk ∑ ∂xl ∑ uyk (y)Ok,i uyk (y)Ok,l uyk (y)Ok,l δil = = = ∂xi ∂xi k k,l k,l (yk = (Ox)k ) logo uxi xi = ∑ ∑…

o problema de Dirichlet para o disco. A equação de Laplace é invariante por translação, dilatação e rotação. As duas primeiras simetrias são imediatas, mostraremos a invariância por rotação: se ∆u(x) = 0, então ∆u(Ox) = 0, onde 0 é uma matriz ortogonal (OOT = OT O = I). De fato, seja v(x) = u(Ox), então fazendo y = Ox, temos vx i = ∑ k uyk (y) ∑ ∂yk ∑ ∂xl ∑ uyk (y)Ok,i uyk (y)Ok,l uyk (y)Ok,l δil = = = ∂xi ∂xi k k,l k,l (yk = (Ox)k ) logo uxi xi = ∑ ∑…

CAPÍTULO V – Campo Magnéticoe Fontes de Campo magnético 15 Íons positivos provenientes de uma fonte passam através das fontes S1 e S2, formando um feixe estreito. A seguir o feixe passa por um seletor de velocidades com   campos E e B ortogonais entre si., a fim de bloquear todos os íons, exceto aqueles com velocidades v = E/B. Finalmente, os íos passam por uma região onde há um  campo magnético B perpendicular ao plano da figura, onde eles se movem em uma…

θ x ) = 2 z (4.21a) sen(− θ x ) = cos( − θ y ) = uz u + u z2 2 y − uy u y2 + u z2 (4.21b) u y2 + u z2 sen(− θ y ) = ux A quinta forma de especificar uma rotação é obtida fornecendo-se três eixos ( i′ , j′ , k ′ ) ortonormais (eixos de comprimento unitário e ortogonais entre si), análogos aos eixos ( i , j , k ) da base canônica. A matriz, apresentada na Equação 4.22, 107 é construída com os eixos ( i′ , j′ , k ′ ) ocupando as três primeiras colunas, respectivamente: Ri ' j '…

(1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) (base canônica de R3 ). Propriedade 4.5. Dados dois vetores u = (a1 , a2 , a3 ) e v = (b1 , b2 , b3 ): a) Diz-se que são paralelos, se u = kv para algum k ∈ R. b) Diz-se que são ortogonais, se u · v = 0. → → c) Sempre o vetor u × v é ortogonal a − e − . u v 4.2 O Espaço n-dimensional Todo conjunto ordenado de n números reais x1 , x2 , x3 , · · · , xn denota-se (x1 , x2 , x3 , · · · , xn ) ou P (x1 , x2 , x3 , · · · , xn ) e chama-se ponto…

qualquer vetor v ϭ〈v1, v2〉 pode ser escrito como v1i ؉ v2 j. 260 PRÉ-CÁLCULO 27.14 Dois vetores que formam um ângulo de ␲/2 são chamados ortogonais. (a) Mostre que o produto interno de dois vetores não nulos é 0 se, e somente se, os vetores são ortogonais. (b) Mostre que 〈10, Ϫ6〉 e 〈9, 15〉 são ortogonais. (c) Encontre um vetor unitário ortogonal a 〈2, Ϫ5〉 com componente horizontal positiva. Resp. (c) 27.15 (a) Prove a propriedade associativa do produto interno; (b) Prove…