Engenharia

MATEMÁTICA II (Módulo de Análise Matemática) Apontamentos das aulas Problemas propostos Soluções dos problemas propostos Mestrado Integrado em Engenharia Química FEUP João M. M. Mendonça Capítulo # 7 COORDENADAS POLARES E CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 7.1 7.2 7.A Coordenadas polares no plano Curvas paramétricas no plano Curvas planas do 2º grau ou “cónicas” 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO ________________________________________________________________ 7.1 Coordenadas polares no plano A posição de qualquer ponto P do plano pode ser representada pelas suas coordenadas polares (r,θ), depois de definirmos um ponto O como sendo o pólo, e uma semi-recta com origem em O como sendo o eixo polar. A coordenada radial r representa a distância do ponto P ao pólo O, enquanto que a coordenada angular θ representa o ângulo que o segmento OP faz com o eixo polar: Por definição, o sentido positivo para a marcação da coordenada angular ou ângulo polar é o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. O valor de θ é arbitrário para o pólo O, já que este é o único ponto do plano cuja coordenada radial é igual a zero. 1 CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO ________________________________________________________________ As coordenadas polares de um ponto, ao contrário das suas coordenadas rectangulares, não têm um valor único, pois o ponto P(r,θ) também pode ser representado por P(r, θ + 2kπ), com k ∈ Z. Por vezes, é…

AP , a condição acima também se escreve: → P ∈ r ⇐ existe t ∈ R tal que P = A + t AB . ⇒ Assim, a reta r é caracterizada pela equação → r : P = A + t AB ; t ∈ R que é chamada equação paramétrica da reta r com parâmetro t. Geometria Analítica - Capítulo 11 182 Equação paramétrica da reta em coordenadas Seja OXY Z um sistema de eixos ortogonais no espaço e considere os pontos A e B em coordenadas: A = (a, b, c) e B = (a , b , c ) Escrevendo o ponto P em coordenadas, P =…

Movimento Plano e Tridimensional 1) Uma partícula está se movendo ao longo da curva tendo como equações paramétricas Se x e y são medidos em centímetros, encontre a velocidade escalar e o módulo do vetor aceleração da partícula em t segundos. Faça um esboço da trajetória da partícula, e trace as representações do vetor velocidade e do vetor aceleração tendo como ponto inicial . Resolução: A equação que descreve o vetor posição r(t), será dada por: (1) A velocidade escalar é…

ALUNAS: PROFESSOR:  Equação da Reta Já estamos adaptados a nos deparar com pontos e retas no plano cartesiano, porém para cada reta no plano cartesiano temos uma equação que à ela está associada, esta é chamada de equação da reta. Podemos definir a equação da reta como uma forma de representarmos uma reta que encontra-se no plano cartesiano por meio de uma equação. Acrescentamos que existem várias formas de representarmos a equação de uma reta:  Equação Vetorial da…

CAPÍTULO I – EQUAÇÕES DA RETA 1.1 Equação vetorial Um dos axiomas da geometria euclidiana diz que dois pontos distintos determinam uma reta. Seja r a reta determinada pelos pontos P1 e P2. Um ponto P pertence à reta r se, e somente se, os vetores ® P1P e ® P1P2 são colineares. Como P1 e P2 são distintos, o vetor ® P1P2 é não nulo, então existe um escalar l tal que ® ® P1P = l P1P2 . Assim, P pertence a r se, e somente se, P = P1 + lP1P2 ; lÎIR ® .…

seis subtítulos. No primeiro será abordada equação paramétrica da reta no espaço. No segundo: equação geral do plano. No terceiro: equação paramétrica do plano. No quarto: retas no espaço com interseções de plano. No quinto: distancias. E no sexto: distancia entre um ponto e um plano. Equação paramétrica da reta no espaço Considere um vetor no espaço. Este vetor determina uma direção no espaço, o que significa que existem infinitas retas paralelas no…

Equação Segmentária da Reta O estudo analítico da reta é muito utilizado em problemas cotidianos ligados a diversas áreas do conhecimento, como a física, biologia, química, engenharia e até a medicina. Determinar a equação da reta e compreender seus coeficientes é bastante importante para a compreensão do seu comportamento, sendo possível analisar sua inclinação e os pontos onde intercepta os eixos do plano. Sobre as retas temos os seguintes tipos de equação: equação geral da reta,…

EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA Considere uma reta s qualquer do plano de equação ax + by = c. Para obtenção da equação segmentária da reta s basta dividir toda a equação por c, obtendo: Que é a equação na forma segmentária da reta s. Exemplo 1. Determine a forma segmentária da equação da reta s cuja equação geral é: s: 2x + 3y – 6 = 0 ------------------------------------------------- Solução: Para determinar a equação segmentária da reta s devemos isolar o termo independente c.…

implicitamente pela equação F(x,y)=0 Uma função y=f(x) está definida implicitamente pela equação F(x,y)=0, se ao substituirmos y por f(x) em F(x,y)=0, esta equação se transforma numa identidade (k = k, k real). Exemplos: i) Seja a equação F(x,y)= x2 + ½(y) – 1 = 0. F(x,y) define implicitamente a função y=2(1 – x2), pois ao substituir y=2(1 – x2), em F(x,y), obtemos a identidade 0 = 0. ii) A equação x2 + y2 = 4 define, implicitamente, as funções , cujos gráficos são semicírculos…

(a) Determine a equação vetorial e paramétrica de uma reta que passa pelo ponto ( - 2, 3, 1) e é paralela ao vetor v = < 1, - 3, 2 > . (b) Determine outros dois pontos pertencentes à reta. Solução (a) Como ro = < - 2, 3, 1 > e v = < 1, - 3, 2 > , a equação vetorial se torna r = < - 2, 3, 1 > + t < 1, - 3, 2 > ou r = < - 2 + t , 3 - 3 t , 1 + 2 t >. Lembrando que i , j , k são os vetores unitários nas direções dos respectivos eixos…