Movimento

Movimento Plano e Tridimensional
1) Uma partícula está se movendo ao longo da curva tendo como equações paramétricas

Se x e y são medidos em centímetros, encontre a velocidade escalar e o módulo do vetor aceleração da partícula em t segundos. Faça um esboço da trajetória da partícula, e trace as representações do vetor velocidade e do vetor aceleração tendo como ponto inicial .
Resolução:
A equação que descreve o vetor posição r(t), será dada por: (1)
A velocidade escalar é dada pelo módulo do vetor velocidade v(t), o qual é encontrado derivando se o vetor posição r(t) em relação ao parâmetro t. (2)
Como r(t) é uma função vetorial tem se que a derivada de r(t) é a derivada de cada uma de suas componentes vetoriais:

Derivando cada componente do vetor r(t):

Logo,

Com o vetor velocidade v(t) encontrado, sabe-se que a velocidade escalar é dada pelo módulo do vetor v(t).

A Velocidade escalar é de 2 cm/s (Resposta 1).
O vetor aceleração a(t) é dado pela derivada do vetor velocidade v(t) ou pela derivada segunda do vetor posição r(t):

Como o vetor velocidade v(t) já foi encontrado, então ele será o vetor usado para encontrar o vetor aceleração a(t). Como v(t) é uma função vetorial, para encontrar sua derivada basta derivar cada uma de suas componentes vetoriais:

Derivando as componentes do vetor v(t):

Logo o vetor a(t) será:

O módulo então do vetor aceleração será dado por

O módulo da aceleração será de 1 m/s² em qualquer instante de tempo t, ou seja, a aceleração da partícula é constante. (Resposta 2)
Pela análise da função vetorial de r(t) pode se deduzir que o gráfico de r(t) será uma semicircunferência de raio 4, com t[0,2pi]. O vetor velocidade v(t) será tangente a trajetória de r(t) em todos os pontos. No entanto analisando o vetor aceleração a(t) percebe que este será paralelo ao vetor r(t) mas com sentido contrário.
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2) A posição de uma partícula em movimento no instante t é dada