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Métodos Matemáticos 2012 –Notas de Aula Equações Diferenciais Ordinárias III A C Tort∗ 2 de outubro de 2012 Diferenciais inexatas e o fator integrante Vimos que a EDO implícita: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, (1) ∂M (x, y) ∂N (x, y) = . ∂y ∂x (2) P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, (3) é exata se e apenas se: Suponha que não seja exata, mas que exista uma função F (x.y) tal que: F (x, y) P (x, y) dx + F (x, y) Q(x, y) dy = 0, (4) agora seja exata. O problema então é determinar esta função F (x, y) que transforma a equação diferencial original de inexata em exata. esta função é chamada de fator integrante. Vejamos um exemplo simples. Exemplo 1 Considere y dx − x dy = 0. (5) Vemos que M (x, y) = y, e N (x, y) = −x. Aplicando o teste de exatidão: ∂N (x, y) = −1, ∂x ∂M (x, y) = 1, ∂y (6) logo, esta EDO implícita não é exata. É fácil inferir que F (x, y) = 1/x2 é um fator integrante (embora não seja o único). Multiplicando a EDO implícita por este fator integrante: y 1 dx − dy = 0. x2 x Agora temos uma diferencial exata e podemos aplicar a técnica que discutimos na última nota de aula. (7) A determinação do fator integrante não é uma tarefa fácil. Muitas vezes podemos inferí-lo ou mesmo deduzílo por tentativa e erro. Eis um método que funciona em alguns casos. Se a Eq. (4) for uma diferencial exata então: ∂ (F Q) ∂ (F P ) = , ∂y ∂x ∗ email: tort@ufrj.br 1 (8) 2 Notas de…

Comprimento de onda e a Equação de Broglie A onda de matéria na mecânica quântica é também conhecida como onda de Broglie. Ela contém uma dualidade onda-partícula na matéria. Entenda melhor! Aumentar fontes para melhor leitura Diminuir fontes para melhor leitura Nós sempre acreditamos que a física e as matérias exatas sempre são, de fato, exatas, não é mesmo? Na matemática, aprendemos que 2+2 é sempre 4 e que processos químicos sempre ocorrem conforme planejado, principalmente ao…

seja: Na Equação acima, assume-se que Q e W são positivos sempre que correspondem a energia que entra no sistema. Alguns autores consideram W positivo quando energia sai do sistema, seguindo o desenvolvimento histórico da Termodinâmica. Do ponto de vista matemático, a simplicidade da primeira equação é evidente. Talvez por essa razão, o seu significado físico não seja suficientemente explorado, originando dúvidas, ou mesmo confusões, na sua interpretação e aplicação a situações…

seja: Na Equação acima, assume-se que Q e W são positivos sempre que correspondem a energia que entra no sistema. Alguns autores consideram W positivo quando energia sai do sistema, seguindo o desenvolvimento histórico da Termodinâmica. Do ponto de vista matemático, a simplicidade da primeira equação é evidente. Talvez por essa razão, o seu significado físico não seja suficientemente explorado, originando dúvidas, ou mesmo confusões, na sua interpretação e aplicação a situações…

para realizar a mistura de substâncias e armazenamento da mesma Estante para tubos de ensaio: suporte necessário para manter em pé os tubos de ensaio Pipeta graduada: utilizada para medir a quantidade exata de solução a ser estudada Espátula: utilizada pegar uma quantidade inexata de substância sólida Proveta: utilizada para realizar a mistura e armazenamento da solução a ser estudada …

de aproximação entre as medidas individuais e o valor correto ‘verdadeiro’. A analogia com os dardos fincados em um alvo ilustrado na Figura 1 representa a diferença entre dois conceitos. Figura 1: A distribuição dardos em um alvo ilustra a diferença entre exatidão e precisão. Fonte: BROWN, LEMAY, BURSTEN – QUÍMICA A CIÊNCIA CENTRAL 9ª ed., Editora Pearson, 2005, 972 paginas. No laboratório geralmente realizamos várias ‘tentativas’ diferentes para um mesmo experimento.…

sistema, a equação de conservação de massa é conseqüência direta da própria definição de Sistema, ou seja, dentro das fronteiras do sistema a quantidade de matéria é fixa em todo instante de tempo. Matematicamente: Segunda Lei de Newton Para um sistema movimentando‐se em relação ao um referencial inicial, a soma de todas as forças externas atuando sobre um sistema é igual a taxa de variação no tempo da Quantidade de Movimento. Na sua forma mais…

pragmática. Vamos considerar como ponto de partida a equação de estado para gases ideais, PV = nRT, ou (1) PVm = RT (onde Vm = V/n) (2) A partir destas equações, é possível dizer de que qualquer uma das variáveis depende das outras duas, e poderíamos escrever cada variável como sendo uma função de duas variáveis. Por exemplo, P = P(Vm, T) = (RT/Vm) (3) Vm = Vm(P, T) = (RT/P) (4) T = T(Vm, P) = (PVm/R) (5) O uso de cálculo diferencial permite saber a maneira como uma variável…

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE QUÍMICA QUÍMICA EXPERIMENTAL ERROS E MEDIDAS: Instrumentos de Medição 1. INTRODUÇÃO Medir é o ato de determinar a grandeza de vários aspectos como as extensões de um objeto, pressão, temperatura e etc. Entre tanto, os valores obtidos nestas medições geralmente são inexatas, tanto por erro humano quanto pela ineficiência presente na maioria dos instrumentos utilizados para medição. Para…

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química Graduação Termodinâmica Exercícios Exercícios de Aplicação da Equação de Virial Helio de Oliveira Junior Prof.: Prof.: Miria Hespanhol Agosto de 2012 Problema: Calcular V, U, H e S para a água nas condições abaixo relacionadas com diferentes modelagens: Equação de Peng-Robinson e Correlações Generalizadas. Comparar com resultados apresentados na Tabela de…