Uso de Derivadas parciais em termodinamica

Uso de Derivadas Parciais em Termodinâmica Química
Estas anotações tem como objetivo ilustrar o uso de derivadas parciais e de diferenciais em aspectos relacionados com a disciplina QFL-2441. Esta discussão não pretende ser rigorosa do ponto de vista matemático, e serve apenas como uma aplicação pragmática.
Vamos considerar como ponto de partida a equação de estado para gases ideais,
PV = nRT, ou

(1)

PVm = RT (onde Vm = V/n)

(2)

A partir destas equações, é possível dizer de que qualquer uma das variáveis depende das outras duas, e poderíamos escrever cada variável como sendo uma função de duas variáveis. Por exemplo, P = P(Vm, T) = (RT/Vm)

(3)

Vm = Vm(P, T) = (RT/P)

(4)

T = T(Vm, P) = (PVm/R)

(5)

O uso de cálculo diferencial permite saber a maneira como uma variável dependente, p. ex.
P na equação (3), varia quando as variáveis independentes (T e Vm na equação 3) são alteradas.
Uma derivada parcial representa a taxa de mudança de uma função, dependente de várias variáveis independentes, quando todas as variáveis exceto uma são mantidas constantes. Por exemplo, a mudança da pressão de um gás com a temperatura mantendo o volume molar constante
(por exemplo no pneu de um carro) pode ser representado por,
R
 ∂ ( RT / Vm ) 
 ∂P 
=
  =

 ∂T  V 
∂T
 V Vm

(6)

De maneira análoga, podemos representar a variação da pressão com o volume molar mantendo a temperatura constante através da equação (7),
 ∂P 
 ∂ ( RT / Vm ) 
RT

 =
 =− 2
Vm
 ∂Vm  T  ∂Vm
V

(7)

Derivadas parciais também podem ser calculadas usando equação (5), onde Vm é agora a variável dependente e P e T as variáveis independentes, ou equação (6), onde T é a variável dependente e P e Vm as variáveis independentes.
Voltando a equação (6), podemos agora integrar esta expressão para calcular a mudança na pressão com uma variação infinitesimal do volume molar a temperatura constante.
A temperatura constante

 ∂P dP = 
 ∂V m


RT
 dVm = − dVm Vm 2
T

(8)

Em muitas situações