Derivadas Direcional Gradiente

TEÓFILO OTONI – MINAS GERAIS BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA www.ufvjm.edu.br Derivação de funções vetoriais Vetor unitário (versor tangente) Teorema: Se temos diferenciáveis, então: se f, g, h são funções Exemplo: a) Determine a derivada b) Encontre o versor tangente em t=0. √ ( √ Exemplo: (√ ) quando t=1 e calcule r’(1). √ ) Determine r’(t), o vetor posição 35 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA…

= (0,0) Para este exemplo é necessário efetuar o cálculo das derivadas, como segue: (x,y) (0,0) f x sen f 0 Ƌf/ƌx sen y 0 Ƌf/ƌy x cos y 0 Ƌ2f/ƌx2 0 0 Ƌ2f/ƌxƌy cos y 1 Ƌ2f/ƌy2 - x sen y 0 Assim, p2(x; y) = 1/ 2 (2xy) = xy; Em se tratando do Polinômio de Taylor p2(x; y) da função f(x; y) = x sen x + y sen y em torno de (xo; yo) = (0; 0): Como no exemplo acima, a função é claramente suave. As suas derivadas até a segunda ordem são: (x,y) (0,0) f x sen…

UNIDADE 1 ­ Função vetorial de uma variável real 1.1 ­ Definição; 1.2 ­ Limite, continuidade, derivada; UNIDADE 2 ­ Curvas no espaço 2.2 ­ Reta tangente e plano normal; 2.3 ­ Comprimento de arco, parametrização pelo comprimento do arco; 2.4 ­ Fórmulas de Serrat­Fenet; 2.5 ­ Plano osculador, retificador e normal; UNIDADE 3 ­ Campos escalares 3.1 ­ Derivada direcional; 3.2 ­ Gradiente, 3.3 ­ Conjunto de nível; 3.4 ­ Teorema do valor médio; UNIDADE 4 ­ Fórmulas de…

2) o seu vetor posição é dado por . a) Esboce a trajetória da partícula e determine a posição da partícula nos instantes t = 3; b) Quando t se aproxima de 2, o que ocorre com a posição da partícula? 4. Calcule: a) b) 5. Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais: a) c) b) d) 6. Determine as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de r(t) no ponto em que t = to a) r(t) = t2 i + ( 2  lnt) j; to = 1; b) r(t) = 2cost i + 2sent j + 3t

= 576. Exercício 3. Esboce o paraboloide hiperbólico 9y 2 − 16x2 = 144z. Exercício 4. Calcule as derivadas parciais (fx ) e (fy ) das seguintes funções: 1. f (x, y) = x2 − y 2 x2 + y 2 2. f (x, y) = cos(x3 y) + sen (y 2 x) 3. f (x, y) = −ex 2 +y 2 + 3xy Exercício 5. Encontre o vetor Gradiente das funções do exercício anterior. Exercício 6. Encontre a derivada direcional no ponto (1, 1) das funções: √ 1 3 1. f (x, y) = yx2 − xy 2 na direção u = i + j 2 2…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.9 O vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.10 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 i 3 Derivadas de ordem superior e a F´rmula de Taylor o 63 3.1 Invers˜o na ordem de deriva¸˜o: Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . a ca 63 3.2 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ponto (x, y) na direção de y é . Com isso, e de acordo com a Segunda Lei de Newton (somatório de forças é igual a massa vezes aceleração), tem-se: , aproximadamente, quando (2) é pequeno. Portanto, (3) em cada ponto onde existem as derivadas parciais. Assim, sob as condições estabelecidas, a função y(x, t) satisfaz a equação de onda, que é dada por (4) com em pontos onde nenhuma força externa atua sobre a corda. A constante tem as dimensões físicas de velocidade.…

dimensões). Notações: Para R³, temos F (x,y,z) = < M(x,y,z), N(x,y,z), P(x,y,z) > Onde M, N e P são funções reais de três variáveis. i = <1, 0, 0 >, j = <0, 1, 0 >, k = <0, 0, 1 > Segundo Guimarães (2011) os operadores são divididos em: GRADIENTE O gradiente pode ser usado para determinar a direção de máximo crescimento ou decrescimento de um fluxo em um campo escalar, pois nos mostra a alteração no valor de uma quantidade por unidade de tempo.…

Lista de Fórmulas e Regras de Cálculo II Em construção. Última atualização 17 de junho de 2013. 6 Derivadas 1 Integrais Básicas xα dx =   ln |x| + k   xα+1  +k α+1 eβx dx = se [c] = 0 α = −1 se 9 Vetor Gradiente α = −1 f (x, y) = fx (x, y)i + fy (x, y)j [xα ] = αxα−1 [cos x] = −sen x 1 βx e +k β [sen x] = cos x 1 cos βxdx = sen βx + k β sen βxdx = − [ex ] = ex 1 cos βx + k β [ax ] = ax ln a 1 dx = arctg x + k 1 + x2

GABARITO – LISTA 4 A. Gradiente e Derivada Direcional 1. a) Poder-se-á encontrar a notação de gradiente das seguintes formas: grad ( f ) ≡ ∇f ≡ ∇f 1   1 1 1 ˆ 1 ∇f =  − y.2.x −3 , 2  ⇒ ∇f (−2, 2) =  ,  = i + ˆ j x  4  2 4 2 x2 curvas de nível: y = 2 b) ∇f (−2, 0) = ( −4, 0 ) x2 y 2 + = 1 ⇒ elipse 22 12 curvas de nível: c) ∇f (2, −1) = ( 4, 2 ) curvas de nível: x2 ( 5) 2 − y2 = 1 ⇒ hiperbole não toca eixo y; cruza x em ± 5 5 2. a) ∇f =