A Fórmula de Taylor

UNIVERSIDADE NILTON LINS

TRABALHO DE CÁLCULO III

MANAUS-AM
2013

SAMUEL MARCELO BARBOSA DE MELO

TRABALHO DE CÁLCULO III

MANAUS-AM
2013
Capítulo I
A Fórmula de Taylor

Fórmula e polinômio de Taylor para funções de uma variável:

Teorema - Seja g : [a; b] ! R uma função de classe Cn¡1 e n vezes diferente em (a; b): Então existe c 2 (a; b) tal que g(b) = g(a) + g0(a)(b ¡ a) + ¢ ¢ ¢ + g(n¡1)(a) (n ¡ 1)! (b ¡ a)n¡1 + g(n)(c) n! (b ¡ a)n:

Definição - Dada uma função f : I ! R definida num intervalo I e n vezes derivável no ponto a 2 I; o polinômio de Taylor de f em a é definido por pn(x) = f(a) + f0(a) (x ¡ a) + f00(a) 2! (x ¡ a)2 + ¢ ¢ ¢ + f(n)(a) n! (x ¡ a)n:

Observe que nas condições do teorema com b = a + h temos a seguinte igualdade g(a + h) = pn¡1(a + h) + Rn(h) onde Rn(h) = f(n)(c)hn=n! satisfaz limh!0 Rn(h)=hn¡1 = 0:

Fórmula e polinômio de Taylor para funções de duas variáveis

Seja A ½ R2 um aberto, Po = (xo; yo) 2 A e (h; k) tal que (xo; yo) + t(h; k) 2 A para todo 0 · t · 1: Considere uma função f : A ! R de classe Cn+1 e, a partir dela, defina a função de uma variável g : [0; 1] ! R dada por g(t) = f(xo+th; yo+tk); ou seja, g é a composta da função '(t) = (xo+th; yo+tk) (qual a imagem de '?) com f e, portanto, também é uma função de classe Cn+1: Podemos assim aplicar o teorema para g e obter a fórmula de Taylor correspondente, usando a = 0 e b = 1: Entretanto, estamos interessados em ver o comportamento do polinômio de Taylor de g calculado em t = 1: Note que g(0) = f(Po) e fazendo uso da regra da cadeia podemos ver que.

g’ (0) = ƌf / ƌx (Po)h+ ƌf / ƌy (Po)k, g’’ (0) = ƌ2f / ƌx2 (Po)h2+ 2 ƌ2f / ƌxy ƌy (Po)hk+ ƌ2f / ƌy2 (Po)k2, g’’’(0) = ƌ3f / ƌx3 (Po)h3+ 3 ƌ3f / ƌx2ƌy (Po)h2k+3 ƌ3f / ƌxƌy2 (Po)hk2+ƌ3f / ƌy3 (Po)k3, g(n) (0) = Ʃnj=0 (nj) ƌnf / ƌxn - jƌyj (Po) hn-jkj.

O Polinômio de Taylor de grau um nada mais é do que a equação do plano