Analise Rn

An´lise III (An´lise no IRn) a a
Notas de aulas

Andr´ Arbex Hallack e Agosto/2008

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Indice
1 No¸˜es Topol´gicas no IRn co o

1

1.1

O espa¸o vetorial IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 1

1.2

Seq¨ˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ue 3

1.3

Topologia usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6

Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.7

Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.8

Norma de uma transforma¸˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 18

1.9

Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2 Diferenciabilidade

25

2.1

Defini¸˜o: diferenciabilidade de uma aplica¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca ca

25

2.2

Exemplos de aplica¸˜es diferenci´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co a

28

2.3

Fun¸˜es reais de m vari´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co a

34

2.4

Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.5

A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.6

Teorema/Desigualdade do valor m´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 49

2.7

Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.8

As classes de diferenciabilidade C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.9

O vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .