Álgebra Linear

Álgebra Linear

1. Se B é uma matriz simétrica, mostre que B – BT é uma matriz nula.

2. Se C é uma matriz triangular superior, mostre que CT é uma matriz triangular inferior.

3. Mostre que para qualquer matriz diagonal D, D = DT.

4. As sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas? Justifique a sua resposta.

a) ( ─ A) T = ─ (AT);
b) (A + B) T = BT + A’;
c) (n1A)·(n2B) = n1n2(A·B);
d) (─A)·(─B) = ─ (A·B);
e) Se pudermos efetuar o produto A·A, então A é uma matriz quadrada.

5. Se A é uma matriz quadrada, então A2 = A·A. Assumindo que esta sentença é verdadeira, calcule .

6. Se T é uma matriz triangular superior, que tipo de matriz é T²?

7. Suponha que existe uma matriz quadrada A não nula onde A·B = A·C. É possível afirmar que B = C? Justifique sua resposta por meio de uma demonstração.

8. Se , ache uma matriz B de modo que B² = A.

9. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas (justifique suas respostas):

a) Se det A = 1, estão A─1 = A;
b) Se A é uma matriz triangular superior e se a admite matriz inversa, então A─1 também será uma matriz triangular superior;
c) Se uma matriz A é quadrada e de ordem n, o seu posto terá valor n se, e somente se, A admitir inversa;
d) Uma matriz A só admite matriz inversa se, e somente se, det A ≠ 0 (use a regra da matriz adjunta);
e) Se A e B são matrizes quadradas e que admitem inversa, então (AB)-1 =A-1B-1
f) Se A é uma matriz inversível, então a inversa da matriz inversa de A é a própria matriz A, ou seja, (A-1)-1 = A;
g) Se uma matriz A pode ser escalonada até se transformar na sua matriz identidade associada, então esta matriz A necessariamente é inversível;

10. Seja W o subespaço de M2x2 definido por

11. Quais são as coordenadas de x =(1,0,0) em relação a base β = {(1,1,1); (-1,1,0); (1,0,-1)}?

12. Seja o operador T(x,y,z) = (2x + z , 2z , 3y ).
a) T é uma Transformação Linear? Justifique sua resposta.
b) Qual é a matriz transformação linear associada a ‘T’?