P

P.A e P.G

Através de alguns exemplos iremos demonstrar as formas de resolução utilizando as fórmulas das progressões aritméticas e geométricas.

Exemplo 1

Seja (a1, a2, a3, ... , an, ... , a50) uma progressão aritmética. Se a2 = 14, a5 – a3 = 18 e an = 239, então k é igual a:

Resolução:
Retirando os dados do problema temos:

a2 = 14 a5 – a3 = 18 an = 239 n = ?
Para o cálculo de k devemos utilizar a equação an= a1 + (n – 1) * r , mas para darmos continuidade devemos achar o valor de a1 e de r, observe os cálculos abaixo:

Utilizando o termo geral da P.A, an = a1 + (n –1) . r podemos dizer que: a2 = a1 + r
14 = a1 + r

Utilizando novamente o termo geral da P.A, podemos dizer que: a5 = a1+ 4r e a3 = a1 + 2r

Substituindo na situação do problema a5 – a3 = 18, temos:

a1 + 4r – a1 – 2r = 18 → unindo os termos semelhantes.

a1 – a1 + 4r – 2r = 18 → reduzindo os termos semelhantes.

2r = 18

r = 18/2

r = 9

Agora devemos descobrir o valor de a1, para isso substituiremos o valor de r = 9 na equação 14 = a1 + r:

a1 + 9 = 14

a1 = 14 – 9

a1 = 5

Agora que sabemos que a1 = 5 e r = 9, podemos calcular qual é o termo n:

an = a1 + (n – 1) * r → Substituído os dados na equação.

239 = 5 + (n – 1) * 9

239 = 5 + 9n – 9 → unindo os termos semelhantes.

239 – 5 + 9 = 9n
243 = 9n

n = 243/9

n = 27

Assim, descobrimos que an é o vigésimo sétimo termo da P.A.

Exemplo 2

Uma P.G de razão 3 foi formada introduzindo-se três termos entre o 2º termo e 486. Qual o 1º termo da P.G?

Resolução:

q = 3
Como foram introduzidos três termos entre o 2º termo e 486 podemos então concluir que 486 é o sexto termo da P.G.

a1 , a2, a3, a4, a5, 486

a3 , a4 e a5 são os três termos introduzidos.

Então podemos dizer que a6 = 486, utilizando o termo geral de uma P.G an = a1 * qn – 1, temos:

a6 = a1 * qn – 1 → Substituindo os dados.

486 = a1 * 3 6 – 1

486 = a1 * 3 5

486 = a1 * 243

a1 = 486/243

a1 = 2