O Teorema de Pick

O Teorema de Pick

O matemático Georg Alexander Pick nasceu em 1859 em Viena, Áustria. Chegou a ser professor emérito da Universidade de Praga e morreu em 1942 em um campo de concentração nazista.
Nem sempre é fácil calcular áreas de polígonos, o polígono da imagem é um exemplo disto. Podemos perceber que os seus vértices estão dispostos sobre pontos de um reticulado de pontos equidistantes entre si no plano. A ideia do Teorema de Pick é calcular a área de um polígono qualquer a partir da contagem de pontos do reticulado, evitando assim um trabalho que seria maior.
A substituição do processo usual contínuo do cálculo da área por algo discreto (contagem de pontos) atrai por sua praticidade e criatividade, o caso tridimensional não é contemplado por tal teorema.
O reticulado de pontos deve possuir apenas coordenadas inteiras, designaremos um reticulado deste tipo pela letra R, e consideraremos apenas polígonos P cujos vértices são pontos desse reticulado.
Também denominaremos A(P) como sendo a área de um polígono nestas condições.
O polígono P diz-se simples quando não possui buracos no seu interior nem intersecções das suas arestas.

Teorema de Pick

Dado um polígono simples P, sejam B o número de pontos de fronteira e I o número de pontos interiores. Então A(P)=B/2+I-1.

Demonstração:

Para demonstrarmos o teorema de Pick, vamos mostrar, em primeiro lugar, que o segundo membro da fórmula de Pick possui a propriedade de que se sobrepormos dois polígonos ao longo de pelo menos uma aresta, então o número de Pick do polígono resultante é igual à soma dos números de Pick dos dois polígonos iniciais.
Tomemos dois polígonos P1 e P2, sejam I1 e B1 o número de pontos do interior e da fronteira do polígono P1, respectivamente, assim como I2 e B2 para P2. Seja P=P1P2 com I pontos interiores e B pontos de fronteira, queremos mostrar que:
B/2+I-1= (B1/2+I1-1)+ (B2/2+I2-1)
Os pontos do reticulado situados sobre as arestas comuns dos dois polígonos