Vetores

1.1 Matrizes
Uma matriz 퐴, 푚×푛 (푚 por 푛), e uma tabela de ´ 푚푛 numeros dispostos em ´ 푚 linhas e 푛 colunas
퐴 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
푎21 푎22 . . . 푎2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푛
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
.
A 푖-esima linha ´ de 퐴 e´
[
푎푖1 푎푖2 . . . 푎푖푛 ]
,
12 Matrizes e Sistemas Lineares para 푖 = 1, . . . , 푚 e a 푗-esima coluna ´ de 퐴 e´
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
푎1푗
푎2푗
.
.
.
푎푚푗
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
,
para 푗 = 1, . . . , 푛. Usamos tambem a notac¸ ´ ao˜ 퐴 = (푎푖푗 )푚×푛. Dizemos que 푎푖푗 ou [퐴]푖푗 e o´ elemento ou a entrada de posic¸ao˜ 푖, 푗 da matriz 퐴.
Se 푚 = 푛, dizemos que 퐴 e uma ´ matriz quadrada de ordem 푛 e os elementos 푎11, 푎22, . . . , 푎푛푛 formam a diagonal (principal) de 퐴.
Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:
퐴 =
[
1 2
3 4 ]
, 퐵 =
[
−2 1
0 3 ]
, 퐶 =
[
1 3 0
2 4 −2
]
,
퐷 =
[
1 3 −2
]
, 퐸 =
⎡
⎣
1
4
−3
⎤
⎦ e 퐹 =
[
3
]
.
As matrizes 퐴 e 퐵 sao˜ 2 × 2. A matriz 퐶 e´ 2 × 3, 퐷 e´ 1 × 3, 퐸 e´ 3 × 1 e 퐹 e´ 1 × 1. De acordo com a notac¸ao que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das ma ˜ trizes dadas acima sao˜
푎12 = 2, 푐23 = −2, 푒21 = 4, [퐴]22 = 4, [퐷]12 = 3.
Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica Marc¸o 20101.1 Matrizes 3
Uma matriz que so possui uma linha ´ e chamada ´ matriz linha, e uma matriz que so possui uma ´ coluna e chamada ´ matriz coluna, No Exemplo 1.1 a matriz 퐷 e uma matriz linha e a matriz ´ 퐸 e uma ´ matriz coluna.
Dizemos que duas matrizes sao iguais se elas t ˜ em o mesmo tamanho e os elementos correspon- ˆ dentes sao iguais, ou seja, ˜ 퐴 = (푎푖푗 )푚×푛 e 퐵 = (푏푖푗 )푝×푞 sao˜ iguais se 푚 = 푝, 푛 = 푞 e 푎푖푗 = 푏푖푗 para 푖 = 1, . . . , 푚 e 푗 = 1, . . . , 푛.
Vamos definir operac¸oes matriciais an ˜ alogas ´ as operac¸ ` oes com n ˜ umeros e provar propriedades ´ que sao v ˜ alidas para essas operac¸ ´ oes. Veremos, mais tarde, que um sistema de equac¸ ˜ oes lineares ˜ pode ser escrito em termos de uma unica equac¸ ´ ao matricial. ˜
Vamos, agora, introduzir as operac¸oes