Vetores Produto Misto

Produto Misto
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1. Dados os vetores u = (3, −1, 1), v = (1, 2, 2) e w =
(2, 0, −3), calcule:

5. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v1

=

(0, −1, 2), v2 = (−4, 2, −1), v3 = (3, m, −2) seja igual a 33.

(a) (u, v, w). R.: −29

Calcular a altura deste paralelepípedo relativa definida
√
por v1 e v2 . . R.: m = 4 ou m = −17/4 e h = 33/ 89

(b) (w, u, w). R.: −29
2. Sabendo que u.(v × w) = 2, calcule:
(a) u.(w × v). R.: −2

(d) (u × w).3v. R.: −6

(b) v.(w × u). R.: 2

(e) u.(2w × v). R.: −4

(c) (v × w).u. R.: 2

(f) (u + v).(u × w). R.: −2

3. Verificar se são coplanares os vetores:

6. Dados os pontos A(2, 1, 1), B(−1, 0, 1), C(3, 2, −2), determinar o ponto D do eixo Oz para que o volume do paralelepípedo formado por AB, AC, AD seja 25. . R.:
D(0, 0, −10) ou D(0, 0, 15)
7. Calcular o volume do tetraedo de base ABC e vértice
P, sendo A(2, 0, 0), B(2, 4, 0), C(0, 3, 0) e P(2, −2, 9). Qual a altura do tetraedo relativa ao vértice P? . R.: 12 e 9

(a) u = (1, −1, 2), v = (2, 2, 1), w = (−2, 0, −4). R.: Não
(b) u = (2, −1, 3), v = (3, 1, −2), w = (7, −1, 4). R.: Sim
4. Qual o volume do cubo determinado pelos vetores
ˆ . R.: 1
ˆ j,ˆ k? i, 8. Três vértices de um tetraedo de volume 6 são
A(−2, 4, −1), B(−3, 2, 3), C(1, −2, −1).

Determinar o

quarto vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo
Oy. R.: D(0, 2, 0) ou D(0, −4, 0)