Produtos_entre_vetores

Produto Escalar
Produto Vetorial
Produto Misto

Vetores no espaço 3-D


ˆ
ˆ v =v i + v ˆ + v k j 1

z

x

3

z

ˆ vk 3

ˆ k ˆ i 2

ˆ j y

ˆ vi 1

v ˆ j 2

x

y

PRODUTO ESCALAR
Definição: Sejam u e v. O produto escalar entre esses vetores, denotado por u · v , é um número real determinado por u · v = |u|·|v|·cosθ, onde θ é o ângulo entre u e v.
Propriedades:
1) Comutativa: u · v = v · u, ∀ u e v
2) u · v = 0 ⇔ um deles é o vetor nulo ou se u e v são ortogonais (θ = 90º)
3) u · u = | u |2
4) (mu)·(nv ) = (m·n)·(u · v ), ∀ u e v e ∀ m e n∈R
5) ( u + v)·w = ( u · w )+( v · w )

Expressão Cartesiana do Produto Escalar

⇒

Interpretação Geométrica do Produto Escalar
Sejam u e v dois vetores quaisquer. Então existe um vetor a paralelo a u e um vetor b ortogonal a u, tais que v = a + b.
Vamos determinar a projeção do vetor v na direção do vetor u.

v b a u ⇒

⇒
⇒

⇒
⇒

PRODUTO VETORIAL
Definição: Sejam u e v. O produto vetorial entre esses vetores, denotado por u × v , é vetor com as seguintes características: Módulo:

    u x v = u v senθ

Direção: Ortogonal ao plano que contem u e v.
Sentido: Regra da mão direita.

Regra da mão direita
→

→

u ×v

⋅
⋅

 v θ

⋅
⋅

 u →

→

v ×u

 v θ

 u Propriedades do Produto Vetorial

Expressão Cartesiana do Produto Vetorial k i

j

Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial
Sejam u e v dois vetores não paralelos.

⇒

⇒

PRODUTO MISTO
Definição: Sejam u , v e w . O produto misto entre esses vetores é um número real, denotado e definido por:

Expressão Cartesiana do Produto Misto

Propriedades do Produto Misto

Lembrando que:

é a condição de coplanaridade entre 3 vetores. Logo:

Interpretação Geométrica do Produto Misto
Sejam u , v e w três vetores não coplanares.

Exemplo: Calcule a área do triângulo determinado pelos pontos P = ( 2,