Variaveis Aleatorias

Cap´ ıtulo 3
Vari´veis Aleat´rias a o
Em muitos experimentos ´ mais f´cil “trabalhar” com um resultado de uma vari´vel e a a do que com a estrutura de probabilidade original. Por exemplo, em uma pesquisa de opini˜o podemos perguntar a 50 pessoas se elas concordam ou n˜o com certa situa¸ao. a a c˜ Se marcamos 1 para concordo e 0 para discordo, o espa¸o amostral para este experimento c cont´m 250 elementos, cada um definido por uma sequˆncia de 0’s e 1’s de tamanho 50. e e
Assim, ´ conveniente reduzir este espa¸o para um tamanho razo´vel. Se o interesse ´ e c a e na quantidade de pessoas que concordam (equivalentemente, que discordam) entre os 50, ent˜o podemos definir a vari´vel X=“quantidade de 1´s dentre os 50”, que captura toda a a a essencia do problema. Dessa forma, o espa¸o amostral X de X ´ o conjunto dos n´meros c e u inteiros X = {0, 1, . . . , 50}, que ´ muito mais simples do que o espa¸o amostral original. e c
Ao definir X definimos uma fun¸ao (mapeamento) do espa¸o original para um novo c˜ c espa¸o amostral, geralmente o conjunto dos n´meros reais. Ou seja, dado um espa¸o c u c de probabilidade (Ω, F, P ), desejamos estudar a estrutura probabil´ ıstica de quantidades associadas a esse experimento.
Defini¸˜o 16. Seja (Ω, F, P ) um espa¸o de probabilidade e X : Ω → R uma fun¸˜o ca c ca Borel-mensur´vel, i.e., a X −1 (B) = {w ∈ Ω; X(w) ∈ B} ∈ F para todo B ∈ β(R), onde β(R) ´ a σ-´lgebra de Borel1 . Ent˜o, X ´ chamada de vari´vel e a a e a aleat´ria (v.a.) em (Ω, F, P ). o 1

´ a menor σ-´lgebra que cont´m todos os intervalos abertos dos n´meros reais. e a e u

52

Em outras palavras, X ´ tal que sua imagem inversa de intervalos B ∈ β(R) pertencem e a σ-´lgebra F. a As vari´veis aleat´rias s˜o denotadas por letras maiusculas, geralmente as do fim a o a do alfabeto, tais como, X, Y , Z, W . Assim, para cada elemento w ∈ F, temos um n´mero real X(w). Os valores da vari´vel s˜o