Variável Aleatória

Variável Aleatória (VA)
Seja E um experimento com um espaço amostral associado S. Uma função X que associa a cada elemento de S um número real x = X(S) é denominada variável aleatória.
Ex: Seja S o espaço amostral obtido no lançamento de 3 moedas. Seja X a variável aleatória definida como sendo o números de caras da sequência, isto é, X(S)=x= número de caras no lançamento de 3 moedas. O conjunto de valores da variável aleatória X é X(S) = {0, 1, 2, 3}, pois:
E={(k,k,k),(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k),(k,c,c),(c,k,c),
(c,c,k),(c,c,c)} X=nº de caras X(S)={0,1,2,3}
Variável Aleatória Discreta (VAD)
Função de probabilidade: A cada resultado de xi de X(S) associa-se um número ƒ(xi)=P(X=xi) denominado probabilidade de xi, tal satisfaz i) ƒ(xi) ≥ 0 ii) ∑ ƒ xi) = 1
A função ƒ assim definida é denominada função de probabilidade de X e a coleção de pares (xi, ƒ(xi)) para i= 0, 1, 2, 3.... é denominada de distribuição de probabilidade da VAD X.
Ex: No lançamento de 3 moedas, seja X a VAD que é o número de caras obtidas. Determine a distribuição de probabilidade dessa VAD. x (k,k,k) (k,k,c) (k,c,k) (c,k,k) (k,c,c) (c,k,c) (c,c,k) (c,c,c)
X(S) 0 1 2 3
Função de probabilidade:
X=nº de caras X={0,1,2,3} ƒ(0) = P(X = 0) = 1⁄8 ƒ(1) = P(X = 1) = 3⁄8 ƒ(2) = P(X = 2) = 3⁄8 ƒ(3) = P(X = 3) = 1⁄8
Distribuição de probabilidade:
X 0 1 2 3 ƒ(x) 1⁄8 3⁄8 3⁄8 1⁄8
Ex: No lançamento de 3 moedas, seja X a VAD. Onde X=nº de caras obtidas nos 3 lançamentos. Determine a função de distribuição acumulada de X: X={0,1,2,3} ƒ(0) = P(X = 0) = 1⁄8 ƒ(1) = P(X = 1) = 3⁄8 ƒ(2) = P(X = 2) = 3⁄8 ƒ(3) = P(X = 3) = 1⁄8
F(x) = 0, x < 0 1⁄8, 0 ≤ x < 1 1⁄2, 1 ≤ x < 2 7⁄8, 2 ≤ x < 3 1, x ≥ 3
Ex: Determine a função de probabilidade de X, a partir da seguinte função cumulativa: Parâmetros de uma VAD
Média, esperança ou valor esperado de X (µ ou E(x)): µ = E(x) = x1ƒ(x1) + x2ƒ(x2) +...+ xnƒ(xn) = ∑ xiƒ(xi)
Variância de X (σ2 ou V(x)): σ2 = V(x) =