Trigonometria plana

(5,0) Mostre que tan^(-1)⁡x=arctan⁡(x) é uma função ímpar.
Solução: Vamos lembrar que, por definição, se f é ímpar, então f(-x) = f(x), para ∀ x ∈ R. Temos que mostrar que o arctan(x) é uma função que está no intervalo restrito de: f:R→(-π/2,π/2), onde nesse intervalo a função é impar. Temos que mostrar que f(-x) = -f(x) ou que o arctan(-x) = -arctan(x) Sendo senx ≠ sen (-x), então, sen(-x) = -senx e cos(x) = cos (-x).
Como f(x) = arctan(x) ⟹ x = tan(f) = (cos⁡(-f))/(sen(-f)) = (cos⁡(f))/(-sen(f)) = - tan(f).
Como sabemos que, a função seno é impar, e a função cosseno é par.
Portanto podemos concluir que a função tangente é impar.
Assim, temos que tan(-f) = -x
-f(x) = arctan(-x) ⟹ - arctan(x) = arctan(-x).

(5,0) Determine os valores de m para os quais a equação 6(m - 1)sen2x - (m - 1)senx - m=0 possui solução.

Solução: Para conseguirmos resolver este exercício, temos que fazer a condição para acharmos o valor de m na equação do 2º grau, onde o delta tem que ser maior ou igual a zero.

m - 1 ≠ 0 m ≠ 1 e m ≠ 0

A equação é do 2º grau, onde o valor de b² - 4ac ≥ 0, com onde a = 6m – 6, b = (m-1)² = m² - 2m + 1, c = -m, onde temos:

m² - 2m + 1 – 4.(6m -6).(-m) ≥ 0 m² - 2m +1 – (24m + 24).(-m) ≥ 0 m² - 2m + 1 + 24m² - 24m ≥ 0
25m² - 26m + 1 ≥ 0

Agora vamos resolver a equação do 2º grau, onde temos: m=(-b±√(b^2-4ac))/2a m =(- (-26)±√(〖(-26)〗^2-4.25.1))/2.25 m =(26±√(676-100))/50 m =(26±√576)/50 m = (26±24 )/50

Agora vamos achar o valor de m1 e m2: m1 = (26 + 24)/50 => m1 = 50/50 => m1 = 1 m2 = (26 - 24)/50 = > m2 = 2/50 = > m2 = 1/25

Agora, temos que ver a variação de sinais no varal:
25m² - 26m + 1 ≥ 0
.......++++++++(1⁄25)- - - - - - - - - - - - - (1)++++++++++

Agora, como queremos que a inequação seja maior ou igual a zero, então o nos interessa na inequação é onde os valores tem o sinal de mais no varal, assim concluímos que: m ≤ 1⁄25 ou m > 1. O m não pode ser igual a 1, porque m ≠ 1.

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