Transformações geométricas
Prof. Danilo Douradinho Fernandes
Transformações
Transformação é uma função que mapeia pontos de um espaço Euclidiano em outros (ou possivelmente os mesmos) pontos do mesmo espaço.
Se uma transformação é linear, então Se um conjunto de pontos está contido em uma reta, depois de transformados eles também estarão contidos sobre uma reta. Se um ponto P guarda uma relação de distância com dois outros pontos Q e R, então essa relação de distância é mantida pela transformação.
Transformação mapeia origem na origem? Sim: Transformação Linear Não: Transformação Linear Afim: Translações são permitidas Transformações Lineares em 2D
Uma transformação linear
Uma transformação linear afim
Transformações Lineares em 2D
⎡ x'⎤ ⎡ a b ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ ⎣ y'⎦ ⎣c d ⎦ ⎣ y ⎦ ⎡ x'⎤ ⎡2 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ ⎣ y'⎦ ⎣1 1 ⎦ ⎣ y ⎦
⎧ x' = 2x ⎨ ⎩ y' = x + y
€
⎡a c ⎤ y [ x' y'] = [ x € ] × ⎢b d ⎥ ⎣ ⎦ ⎡2 1⎤ y ] × ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦
Utilizaremos este:
€
[ x'
y'] = [ x
Transformações Lineares em 2D
A matriz 2x2 é uma imagem dos vetores unitários
[1 0] e [0 1]:
[ x'
y'] = [ x
⎡2 1⎤ y ] × ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦
€
⎡2 0 ⎤ [2 1] = [1 0] × ⎢1 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡2 0 ⎤ [0 1] = [0 1] × ⎢1 1⎥ ⎣ ⎦
€
Rotação
Rotação na origem:
(cos , sen ) é a imagem de (1,0) (-sen , cos ) é a imagem de (0,1)
Matrix de rotação:
θ senθ ⎤ ⎥ € θ ⎦ cos
[ x'
y'] = [ x
⎡ cos θ y ] × ⎢ ⎣−senθ
Mudança de Escala
Com ref. na origem:
⎧ x' = sx x ⎨ ⎩ y' = sy y
Matriz de mudança:
€
[ x'
y'] = [ x
⎡sx y ] × ⎢ ⎣ 0
0 ⎤ ⎥ sy ⎦
Casos especiais:
Reflexão em torno de 0: sx = sx = 1 Reflexão em torno de x: sx = 1, sy = −1 € Reflexão em torno de y: sx = −1, sy = 1
€ €
Cisalhamento
Sobre o eixo x:
⎧ x' = x + ay ⎨ ⎩ y' = y
Sobre o eixo y
⎧ x' = x ⎨ ⎩ y' = bx +