transformada Z

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A Transformada z

1. Introdução
A transformada z pode ser deduzida a partir de um sinal exponencial complexo aplicado a entrada de um sistema LTI com resposta ao impulso Desta forma,
Ω
considerando-se que = é um número complexo com módulo r e fase Ω, pode-se escrever que
=
é um sinal exponencial complexo. Neste caso, a saída do sistema LTI, y[n], é dada por:
=

Ou seja:

Substituindo-se

=

=

∗

=

−

(4.1)

na Equação (4.1) resulta que:

=

=

(4.2)

A partir dos dados da Equação (4.2) define-se a função de transferência H(z):
( )=
De modo que:

(4.3)
( )

=

(4.4)

Então, verifica-se que a ação do sistema sobre uma entrada multiplicação da entrada pelo número complexo H(z).

é equivalente à

2. A Transformada z
A função de transferência H(z) deduzida na seção anterior é considerada a transformada z da resposta ao impulso h[n] de um sistema LTI. Assim, a transformada z bilateral para um sinal (ou uma sequência genérica) de tempo discreto x[n] é dada por:
!

=

(4.5)

2

A transformada z unilateral é definida como:
!

=

(4.6)

#

Observa-se, então, as transformadas z bilateral e unilateral são equivalentes apenas se x[n] = 0 para n < 0.

Exemplo 4.1
Determine a transformada z do sinal x[n] dado abaixo:

),
= −)
+,
=#
−),
=) 5
=
' ),
=+
&
% #, caso contrário
(
&

Solução:

Substituindo os valores de x[n] na Equação (4.5) resulta que:

Ou então:

!( ) = ).
!( ) =

)

+ +.

++−

#

)

− ).

+

+

)

+ ).

+

3. A Região de Convergência
A transformada z existe quando a soma infinita na Equação (4.5) ou (4.6) converge para um determinado valor. Uma condição necessária para a convergência é o
|=|
|, deve-se ter: somatório absoluto de
. Considerando que |
|

|)

+ ⋯ + ;=
) + ⋯+ >
?
)

=

(4.7)

?

Por outro lado, X(z) pode também pode ser demonstrada como produto de termos que envolvem as raízes dos polinômios do