Transformada Z exercicios resolvidos

1
Exercícios de Controle Digital
PTC 2419

1.1

Exercícios resolvidos

Exercício 1.1
Determine a transformada Z da sequência f (k) da Tabela 1.1. k f (k)

0
0

1
1

2
2

3
3

4
0

5
0

6
0

•

•

•

•

•

•

Tabela 1.1: Sequência f (k).
Solução
Aplicando a definição de transformada Z
∞

f (k)z −k = f (1)z −1 + f (2)z −2 + f (3)z −3 + . . .

F (z) = k=0 =

1
2
3 z 2 + 2z + 3
+ 2+ 3 =
.
z z z z3 (1.1)

Exercício 1.2
A resposta y(k) de um sistema, para uma entrada u(k) do tipo impulso unitário está apresentada na Tabela 1.2. Determine a função de transferência G(z) = Y (z)/U (z) e uma expressão para y(k). k y(k)

0
2

1
1

2
0,5

3
0,25

4
0,125

•

•

•

•

•

•

Tabela 1.2: Resposta y(k).
Solução
Aplicando a definição de transformada Z, obtém-se
∞

y(k)z −k = 2 + z −1 + 0,5z −2 + 0,25z −3 + 0,125z −4 + . . .

Y (z) =

(1.2)

k=0

A Equação (1.2) representa a soma dos termos de uma progressão geométrica com razão 0,5z −1 e primeiro termo igual a 2. Para | z |> 1, há convergência. Assim,
2
2z
Y (z) =
=
.
(1.3)
1 − 0,5z −1 z − 0,5
1

2

1. Exercícios de Controle Digital PTC 2419
Como a entrada u(k) é um impulso unitário, então U (z) = 1. Logo,
G(z) = Y (z) =

2z
.
z − 0,5

(1.4)

Da tabela de transformadas Z (??), obtém-se y(k) = 2(0,5)k .

(1.5)

Exercício 1.3
Um sistema dinâmico é descrito pela Equação de diferenças y(k + 2) − y(k + 1) + 0,09y(k) = u(k), com y(0) = y(1) = 0 .

(1.6)

Supondo que u(k) é um degrau unitário, determinar:
a) a transformada Z da sequência y(k) ;
b) lim y(k). k→∞ Solução
a) Aplicando a propriedade (??) do avanço na Equação (1.6), obtém-se z 2 Y (z) − y(0) − y(1)z −1 − z (Y (z) − y(0)) + 0,09Y (z) = U (z) .

(1.7)

Como y(0) = y(1) = 0, então
Y (z)(z 2 − z + 0,09) = U (z) .

(1.8)

Como u(k) é um degrau unitário, então Z[u(k)] = z/(z − 1). Logo z .
(z − 1)(z 2 − z + 0,09)

Y (z) =

(1.9)

b) Aplicando o teorema do valor final na Equação (1.9), obtém-se lim y(k) = lim (1 − z −1 )Y (z) = lim

k→∞

z→1

z→1

(z − 1) z 1 ∼
=
= 11,111 .
2
z