Transformada inversa de laplace

A Transformada Inversa de Laplace

1. Definição da Transformada Inversa de Laplace

Se a transformada de Laplace de uma função Ft é fs, isto é, se LF(t)=f(s) então Ft é chamada transformada inversa de Laplace de f(s) e escrevemos simbolicamente Ft=L-1f(s) onde L-1 é chamado operador da transformada inversa de Laplace.
Exemplo: Como Le-3t=1s+3 podemos escrever

L-11s+3=e-3t

2. Unicidade das Transformadas Inversas de Laplace

Como a transformada de Laplace de uma função N(t) nula é zero, é claro que, se LF(t)=f(s), então também LFt+N(t) =f(s). Disso segue que podemos ter duas funções diferentes com a mesma transformada de Laplace
Exemplo: As duas funções diferente F1t=e-3t e
F2t=0 t=1e-3t caso contrário tem a mesma transformada de Laplace, isto é, 1s+3
Se considerarmos funções nulas, vemos que a transformada inversa de Laplace não é única. Ela será nula, entretanto, se desconsiderar-se funções nulas (que em geral não aparecem em casos de interesse físico).

Teorema de Lerch: Se nos restringirmos a funções F(t) que sejam seccionalmente contínuas em todo intervalo 0≤t≤N e de ordem exponencial para t>N, então a transformada inversa de Laplace de f(s), isto é, L-1f(s)=F(t), é única. Sempre suporemos essa unicidade, a menos que se diga o contrário.

3. Algumas transformadas inversas de Laplace

4. Algumas propriedades importantes das transformadas inversas de Laplace

Como a transformada iInversa é basicamente um retorno da transformada de Laplace, suas propriedades são parecidas com as da Transfomada de Laplace.

5.1 Propriedade de linearidade
Se c1 e c2 são constantes quaisquer, enquanto f1s e f2s são as transformadas de Laplace de F1t e F2t, respectivamente, então
L-1c1f1s+c2f2s = c1L-1f1s+c2L-1f2s
=c1F1t+ c2F2t
O resultado é facilmente estendido a mais de duas funções.
Por causa dessa propriedade, podemos dizer que L-1 é um operador linear ou que tem a propriedade de