Transformadas de laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. INTRODUÇÃO

A transformada de Laplace pode ser usada para resolver problemas de valor inicial da forma Ay” + By' + Cy = f(t); y(0) = y0, y`(0) = y0` , para A, B, e C pertencente aos números reais.
Para isso, a equação diferencial é inicialmente transformada pela transformada de Laplace numa equação algébrica. Depois, resolve-se a equação algébrica e finalmente transforma-se de volta a solução da equação algébrica na solução da equação diferencial inicial.
A transformada de Laplace pode ser entendida como a “caixa” da figura a seguir. Do lado esquerdo entram as funções originais e do lado direito saem as funções transformadas pela transformada de Laplace.

2. DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

A transformada de Laplace da função f:[0,+∞)→ R é definida por:

F(s)=£{f(t)}= = , para todo s ≥ 0, em que a integral converge.

Representamos a função original por uma letra minúscula e sua variável por t, sendo a sua transformada de Laplace pela letra correspondente maiúscula e sua variável por s. Assim, as transformadas de Laplace das funções f(t), g(t) e h(t) serão representadas por F(s), H(s) e G(s) respectivamente.

A transformada de Laplace é definida através de uma integral imprópria, isto é, uma integral na qual um dos limites é infinito. Nessas condições, a transformada de Laplace converge para um s > α. Esta condição dada é suficiente mas não necessária, o que quer dizer que podem existir funções que não atendem a essa condição, mas que possuem transformada de Laplace.

Exemplos:
1) Determine a transformada de Laplace de f(t) = 1
F(s) = £{(f(t)} =

2) Determine a transformada de Laplace de f(t) = t

F(s) =
Integrando por partes vem: = .
Para s > 0, e .
Portanto, F(s) = = , s > 0.

3) Determine a transformada de Laplace de f(t) = eat

F(s)= =

3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Vamos enunciar algumas propriedades relacionadas à Transformada de Laplace, no sentido de