Relações entre Inglaterra e Estados Unidos

Transformada de Laplace
Cálculo III - ECT 1312
Escola de Ciências e Tecnologia
Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Março 2012

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Março 2012

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Transformada de Laplace, Transformada Inversa,
Linearidade e Desvio s
Definição
Seja f (t) uma função definida para todo t ≥ 0. Sua Transformada de Laplace é dada pela seguinte integral imprópria, se existir, a L {f (t)} = lim

a→∞ 0

f (t)e−st dt.

O resultado da integral, quando esta converge, é uma função que depende da variável s, de forma que escrevemos
∞

F(s) = L {f (t)} =

f (t)e−st dt,

0

onde fica implícito que estamos tratando de uma integral imprópria.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

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Transformada de Laplace, Transformada Inversa,
Linearidade e Desvio s
Transformada Inversa
Assim como F(s) é definida como a transformada de Laplace da função f (t), dizemos que f (t) é a transformada inversa de F(s) represetada por

f (t) = L −1 {F(s)}.
Notação
Note que as funções originais dependem da variável t, enquanto que suas transformadas dependem da variável s. As funções originais são escritas em letras minúsculas (f (t), y(t), etc), ao passo que suas transformadas são escritas em letras maiúsculas (F(s), Y(s), etc).

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Transformada de Laplace, Transformada Inversa,
Linearidade e Desvio s

Exemplo 1
Determine a transformada de Laplace F(s) da função f (t) = 1 para t ≥ 0.
Pela definição temos que
∞

F(s) = L {f (t)} =

0

∞

f (t)e−st dt =
0

e−st dt = −

e−st s ∞
0

1
= , s desde que s > 0.

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Transformada de Laplace, Transformada Inversa,
Linearidade e Desvio s
Exercício 1
Determine a transformada de Laplace F(s) da função f (t) = eat para t ≥ 0.

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Linearidade e Desvio s