Transformada de laplace

1. INTRODUÇÃO

Muitos problemas práticos de engenharia envolvem sistemas mecânicos ou elétricos sob a ação de forças descontínuas ou de impulsos. Alguns métodos são, muitas vezes, complicados de usar em tais problemas. Outro método particularmente adequado para esses problemas, embora possa ser usado mais geralmente, baseia-se na Transformada de Laplace.
Por meio de sua utilização, podemos converter muitas funções comuns, como funções senoidais, funções senoidais amortecidas e funções exponenciais, em funções algébricas de uma variável complexa s. Operações como diferenciação integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo. Assim, uma equação diferencial linear pode ser transformada em uma equação algébrica em uma variável complexa s. Se a equação algébrica em s for solucionada em termos da variável dependente, então a solução da equação diferencial (a Transformada de Laplace inversa da variável dependente) poderá ser obtida por meio da tabela das Transformadas de Laplace ou pela utilização da técnica de expansão em frações parciais.
Uma vantagem do método da Transformada de Laplace é que ele permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho do sistema, sem a necessidade de solucionar sistemas de equações diferenciais. Outra vantagem desse método é que, quando solucionamos uma equação diferencial, tanto a componente transitória quanto a componente estacionária da solução podem ser obtidas simultaneamente.

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

A Transformada de Laplace de f(t) é dada por:

Onde: f(t) | = | Uma função de tempo em que f(t) = 0 para t < 0; | s | = | Uma variável complexa; | L | = | Um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser transformada por meio da Integral de Laplace 0∞e-st.dt; | F(s) | = | Transformada de Laplace de f(t). |

O processo inverso de determinação da função de tempo f(t) a partir da Transformada de Laplace F(s) é chamada de Transformada Inversa de