transformada de laplace

Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT

http://www.dma.uem.br/kit

Transformada de Laplace
Prof. Doherty Andrade
Universidade Estadual de Maringá
Departamento de Matemática - 87020-900 Maringá-PR, Brazil

Sumário

1. Preliminares

3

2. Funções Contínuas

6

3. Teoremas de Ponto Fixo

9

4. Introdução as EDO's

10

5. Prova do Teorema de Existência

13

6. Transformada L de Laplace

18

7. Propriedades

20

8. A Inversa da Transformada de Laplace

24

9. Frações Parciais

24

10.Teorema da Convolução

27

11.Aplicações a EDO's

28

12.Métodos para determinar a transformada inversa de Laplace 29
13.Aplicação a sistemas de EDO's

30

2

Prof. Doherty Andrade

Resumo: Estas notas foram especialmente elaboradas para servirem de texto para o mini-curso sobre Transformada de Laplace.

Este mini-curso é

introdutório e exige-se o mínimo de pré-requisitos.
Acompanham estas notas um diskete contendo arquivos em Maple com os exemplos e outras atividades para serem realizadas no computador.

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1.

KIT -

3

Cálculo Diferencial e Integral

Preliminares

Nesta seção vamos ver alguns conceitos elementares que serão úteis no restante da teoria.
Um espaço métrico é um par (M, d), onde M é um conjunto não vazio e d uma função d : M × M → R que para todos os pontos x e y de M satisfaz:
a) d(x, y) ≥ 0, (positiva)
b) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, (não degenerada)
c) d(x, y) = d(y, x), (simétrica)
d) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desig. triangular).
A função d é chamada uma métrica e d(x, y) signica a distância entre x e y.
O espaço métrico que temos de imediato e mais interessante é o Rn , cuja métrica d : Rn × Rn → R é dada por d(x, y) = x − y , onde x−y =

x − y, x − y .

Esta é, por razões óbvias, chamada métrica euclidiana.
Pode-se provar que em Rn todas as métricas são