Transformada de Laplace

A transformada de Laplace fundamental para o estudo dos sistemas de controle lineares e invariantes no tempo. As dinmicas desses sistemas podem ser representadas por equaes diferenciais no domnio do tempo que, em muitas das vezes, possuem difcil e penosa resoluo no domnio do tempo. Por exemplo, integrao e diferenciao, so substitudas por operaes algbricas bsicas no domnio da freqncia (plano complexo). Uma vez resolvida a expresso algbrica no domnio s, a resposta da equao diferencial no domnio do tempo obtida atravs do uso das tabelas de transformadas de laplace ou pelas tcnicas de expanso em fraes parciais. Um exemplo de aplicao pode ser mostrado atravs de um sistema massa-mola-amortecedor. Esse sistema pode ser representado pela seguinte equao diferencial EMBED Equation.DSMT4 , tirada da segunda lei de Newton EMBED Equation.DSMT4 , onde M a massa, B o coeficiente de atrito e K a constante da mola e (a) a acelerao resultante do sistema, x(t) o deslocamento que o sistema sofre em funo de t, devido aplicao da fora F(t), ou seja, EMBED Equation.DSMT4 . A resoluo desta equao no domnio s ou tambm conhecido como domnio da frequncia, (Laplace plano complexo) se resume resoluo de uma equao simultnea do segundo grau da seguinte forma EMBED Equation.DSMT4 (esse procedimento ser visto adiante). Portanto, a relao entre o deslocamento sofrido pela massa X(s) devido fora aplicada F(s) dada por EMBED Equation.DSMT4 , ou melhor, EMBED Equation.DSMT4 . Dada uma fora aplicada F(s) obtemos um deslocamento X(s) em funo dos parmetros M (massa), B (atrito) e K (constante da mola). A resoluo desse problema no domnio do tempo como resposta x(t) fora f(t) aplicada ser a transformada inversa de Laplace de X(s), ou seja, EMBED Equation.DSMT4 que pode ser resolvido facilmente atravs do mtodo de decomposio em fraes parciais como ser visto mais adiante. Definio geral A transformada de Laplace determinada atravs da multiplicao de uma funo ou sinal linear f(t) pela